B?T D?NG TH?C
V� CH?NG MINH B?T D?NG TH?C
3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( BĐT Cauchy):
a) Đối với 2 số không âm:
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0 ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Chứng minh:
Với a ≥ 0, b ≥ 0 ta có
Do đó
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương bất kỳ thì
Ví dụ 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
với x > 0.
Giải:
Do x > 0 nên
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hệ quả:
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Ứng dụng:
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.