Nhà toán học thiên tài người PHÁP Augustin Louis Cauchy
(1789 -1857)
Ví d?:
Cho . Ch?ng minh r?ng :
Da?ng thu?c xa?y ra khi nào ?

.
=
.
=
Đẳng thức xảy ra ?
=

Giải:
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
3 . Baát ñaúng thöùc trung bình cộng và trung bình nhân
Đối với hai số không âm:
Định lý:


Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoă�c bằng trung bình nhân của nó

Đẳng thức xảy ra:
Hay:
Ví dụ:
Vd 1: Cho hai số a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Giải :
* Áp dụng Côsi cho 2 số dương a,b:
Áp dụng Côsi cho 2 số dương 1, ab:
Nhân vế theo vế của (1) và(2) ta có:
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
* Đẳng thức xảy ra khi:
( Do a >0, b >0 )
Ví du:�
Vd 2: Cho số dương a. Chứng minh rằng :
Giải:
Áp dụng Côsi cho 2 số dương :
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Đẳng thức xảy ra khi:

a=1 (do a>0)
Các hệ quả :
Hệ quả 1:
Tổng của một số duong với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Hệ quả 2:
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y
Hệ quả 3:
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Với 160.000m dây ta sẽ rào khu rừng này một vùng hình chữ nhật của riêng ta.
Làm sao để lãnh thổ
của ta rộng nhất ?
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
…?


Gi?i:
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Gọi khu rừng được rào có chiều dài là x, chiều rộng là y (x,y>0). Khi đó diện tích khu rừng là xy .
Chu vi là : 2(x + y) =160.000 hay x+y=80.000
Theo Cô-si ta có:


Đẳng thức xảy ra, tức là xy=1.600.000.000 khi x=y=40.000
Nên xy đạt giá trị lớn nhất là : xy=1.600.000.000 khi x=y=40.000
Vậy khu rừng được rào theo hình vuông có cạnh là 40.000 m sẽ có diên tích lớn nhất





Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Hệ quả 2:
15 cm2
16 cm2
Chu vi =16cm
Ý NGHĨA HÌNH HỌC
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Hệ quả 3:
16cm
20cm
Diện tích =16cm2
3. Các vi? d? :
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Vd1:
Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất với x>0
Vd2:
Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất với x>-1
Giải :
Giải :
Vd3:
Tìm x để f(x) = (x+3)(5-x) đạt giá trị lớn nhất
với
Giải :

3. Các vi d? :
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Vd1:
Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất với x>0
Giải :
* Vì x>0 nên >0. Áp dụng côsi cho hai số x và :


* f(x) đạt giá trị nhỏ nhất : f(x) =

3. Các vi d? :
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Vd2:
Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất với x> -1
Giải :
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số (x+1) và :
Vì x> ?1 nên x + 1 > 0 ; > 0
f(x) = (x + 1) + -1
?
Vậy f(x) d?t giá trị nhỏ nhất là : f(x)
? (x + 1) =
? (x + 1)2 = 4
? x =1 ho?c x=-3
x=1 (do x>-1)
Vd3:
Tìm x để f(x)=(x+3)(5-x)đạt giá trị lớn nhất
với
Giải :
Vì nên
Áp dụng côsi cho hai số (x+3) và (5-x) :
Đẳng thức xảy ra khi x+3=5-x  x=4
Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là : f(x)=16
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
b) Đối với ba số không âm:
Định lý:
Trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoă�c bằng trung bình nhân của ch�ng. .
Ta cĩ

Đẳng thức xảy ra:
Hay:
Ví dụ:
Chứng minh rằng nếu là ba số dương thì





Khi nào đẳng thức xảy ra?
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Bất đẳng thức Côsi:
Các hệ quả :
Ứng dụng :
Chứng minh bất đẳng thức
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức
C?ng c? :
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Hay
Đẳng thức xảy ra khi a=b
2. Các hệ quả :
Hệ quả 1:
Tổng của một số duong với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
III. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Hệ quả 2
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x=y
Hệ quả 3
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y