Chương IV. §1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức
- 0 / 0
-
(Tài liệu chưa được thẩm định)
Nguồn:
Người gửi: Lê Thị Việt Thương
Ngày gửi: 17h:39' 18-03-2011
Dung lượng: 473.5 KB
Số lượt tải: 73
Nguồn:
Người gửi: Lê Thị Việt Thương
Ngày gửi: 17h:39' 18-03-2011
Dung lượng: 473.5 KB
Số lượt tải: 73
Số lượt thích:
0 người
CHÀO MỪNG
CÁC BẠN 10A01!
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nội dung Bài học:
Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân:
I)Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức:
a)Ôn Tập:
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “a>b”, “aCũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
Dưới đây là một số tính chất đã biết của bất đẳng thức:
1)Tính chất bắc cầu:a>b và b>c a>c
2)Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
3)Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
-Nếu c>0 thì a>b
-Nếu c<0 thì a>b
b)Bổ sung tính chất BĐT:
và
và
và
- Nếu A,B là những mệnh đề chứa biến thì “A>B” là một mệnh đề chứa biến. Chứng minh BĐT A>B(với điều kiện nào đó của các biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A>B đứng với các giá trị của các biến (thoả mãn điều kiện đó).
- Từ nay,ta quy ước: Khi nói ta có BĐT A>B (trong đó A và B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng BĐt đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc
Ví Dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì
Bởi vì a>0,b>0,c>0 nên abc>0. Do đó:
Chứng Minh
Vậy Bất Đẳng thức cần chứng mình đúng.
(luôn đúng)
II Bất Đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây:
Sau đây là hai BĐT quan trọng khác về gía trị tuyệt đối (viết dưới dạng BĐT kép):
Với mọi số thực a,b ta có:
Chứng minh :
Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( Bất đẳng thức Cô-si)
a) Đối với hai số không âm:
Với mọi a≥ 0, b≥ 0 ta có:
Trung bình cộng của hay số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b
Hệ Quả
. - Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
Ứng Dụng
- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất.
- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Chứng Minh Hệ Quả 1
Giả sử hai số dương x và y. Tổng x+y= S không đôỉ.
Ta có:
nên
Do đó tích xy đạt gía trị lớn nhất là khi và chỉ x=y=
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Chứng Minh Hệ Quả 2
Giả sử hai số dương x và y có tích xy=P không đổi
nên
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Do đó tổng x+y đạt gía trị nhỏ nhất bằng
khi và chỉ khi x=y=
Ví Dụ2: Trong hình bên, cho AH=a, BH=b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của a và b.
Trong đt(O) có AB là đường kính.
Theo hệ thức lượng trong tam giác
Bài giải
Tương tự: Trong
Dựa vào hình, ta thấy
Suy ra: tam giác ABC vuông tại C
b) BĐT Co-si cho 3 số không âm:
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0,c ≥ 0, ta có
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Chứng Minh:
Đặt
Ta có:
Mở Rộng:
Với hai cặp số (a;b) và (x;y) ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay=bx
Tạm Biệt!
Tạm Biêt
CÁC BẠN 10A01!
BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Nội dung Bài học:
Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức:
Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân:
I)Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức:
a)Ôn Tập:
Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “a>b”, “a
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.
Dưới đây là một số tính chất đã biết của bất đẳng thức:
1)Tính chất bắc cầu:a>b và b>c a>c
2)Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
3)Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân:
-Nếu c>0 thì a>b
-Nếu c<0 thì a>b
b)Bổ sung tính chất BĐT:
và
và
và
- Nếu A,B là những mệnh đề chứa biến thì “A>B” là một mệnh đề chứa biến. Chứng minh BĐT A>B(với điều kiện nào đó của các biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A>B đứng với các giá trị của các biến (thoả mãn điều kiện đó).
- Từ nay,ta quy ước: Khi nói ta có BĐT A>B (trong đó A và B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng BĐt đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc
Ví Dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì
Bởi vì a>0,b>0,c>0 nên abc>0. Do đó:
Chứng Minh
Vậy Bất Đẳng thức cần chứng mình đúng.
(luôn đúng)
II Bất Đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây:
Sau đây là hai BĐT quan trọng khác về gía trị tuyệt đối (viết dưới dạng BĐT kép):
Với mọi số thực a,b ta có:
Chứng minh :
Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân( Bất đẳng thức Cô-si)
a) Đối với hai số không âm:
Với mọi a≥ 0, b≥ 0 ta có:
Trung bình cộng của hay số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.
Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b
Hệ Quả
. - Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
- Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau
Ứng Dụng
- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất.
- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
Chứng Minh Hệ Quả 1
Giả sử hai số dương x và y. Tổng x+y= S không đôỉ.
Ta có:
nên
Do đó tích xy đạt gía trị lớn nhất là khi và chỉ x=y=
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Chứng Minh Hệ Quả 2
Giả sử hai số dương x và y có tích xy=P không đổi
nên
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Do đó tổng x+y đạt gía trị nhỏ nhất bằng
khi và chỉ khi x=y=
Ví Dụ2: Trong hình bên, cho AH=a, BH=b. Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b. Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của a và b.
Trong đt(O) có AB là đường kính.
Theo hệ thức lượng trong tam giác
Bài giải
Tương tự: Trong
Dựa vào hình, ta thấy
Suy ra: tam giác ABC vuông tại C
b) BĐT Co-si cho 3 số không âm:
Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0,c ≥ 0, ta có
Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Chứng Minh:
Đặt
Ta có:
Mở Rộng:
Với hai cặp số (a;b) và (x;y) ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay=bx
Tạm Biệt!
Tạm Biêt
Các ý kiến mới nhất