CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
• Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp
số thực. Chúng ta đã biết nhiều phép tính lũy thừa với số mũ tự
nhiên của số thực, những công thức để tính toán hay biến đổi
những biểu thức chứa các lũy thừa, ví dụ: .
• Có hay không những công thức để tính
toán hay biến đổi những biểu thức chứa
giá trị lượng giác?

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Công thức cộng

2

Công thức nhân đôi

3

Công thức biến đổi tích thành tổng.
Công thức biến đổi tổng thành tích

1. CÔNG THỨC CỘNG

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1.
HĐ 1:
𝜋
𝜋
. tính và . Từ đó rút ra đẳng thức (*).
a) Cho 𝑎= 6 , 𝑏= 3Hãy

b) Tính bằng cách biến đổi .
Và sử dụng công thức(*).
THẢO LUẬN NHÓM

Giải

𝜋 1 𝜋 √ 3 𝜋 √3
𝜋 1
sin
=
;
cos
=
,sin
=
;cos
⁡
=
a)
6 2
6 2
3 2
3 2

(

)

( )

𝜋 𝜋
𝜋
sin ( 𝑎 +𝑏 ) =sin
+
= 𝑠𝑖𝑛
=1
6
3
2

1 1 √3 √ 3
sin 𝑎 cos 𝑏+ cos 𝑎 sin 𝑏= . +
.
=1
2 2 2 2
Vậy

Giải

Mối quan hệ về giá trị

b) sin ( 𝑎 − 𝑏 ) =sin [ 𝑎 + ( −𝑏 ) ]

lượng giác giữa hai

¿ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠 ( −𝑏 ) +𝑐𝑜𝑠 𝑎sin ⁡¿ ¿

góc đối nhau:

¿𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏−𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏

KẾT LUẬN

Ví dụ 1: (SGK – tr16) Tính
Giải
Áp dụng công thức cộng, ta có:
sin 75 = sin ( 30 + 45 )
𝑜

𝑜

𝑜

𝑜

𝑜

𝑜

¿ sin 30 cos 45 +cos 30 sin 45
2+ √ 6
√
¿
4

𝑜

Luyện tập 1

𝜋
Tính sin
12

Giải
Áp dụng công thức cộng, ta có:

(

𝜋
𝜋 𝜋
sin
=sin
−
12
3
4

)

𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
¿ 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛
3
4
3
4

6 −√2
√
¿
4

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2.
HĐ 2:
a) Tính bằng cách biến đổi
¿ sin

[(

)

𝜋
− 𝑎 −𝑏
2

]

cos ( 𝑎+𝑏 )= sin

[

𝜋
− ( 𝑎 +𝑏 )
2

]

và sử dụng công thức cộng đối với

b) Tính bằng cách biến đổi . Và sử dụng công thức có được ở câu
a.
THẢO LUẬN NHÓM

Giải

Mối quan hệ về giá trị
lượng giác giữa hai
góc phụ nhau:
sin
cos

[
[

]
]

𝜋
− 𝑎 = cos 𝑎
2
𝜋
−𝑎 = sin 𝑎
2

[

𝜋
cos
(
𝑎+𝑏
)
=sin
−
(
𝑎+
𝑏
)
a)
2

¿ sin

[(

𝜋
−𝑎 − 𝑏
2

(

)

)

]

(

]
)

𝜋
𝜋
¿ 𝑠𝑖𝑛
−𝑎 cos 𝑏 − cos
− 𝑎 sin 𝑏
2
2

Giải

Mối quan hệ về giá trị
lượng giác giữa hai
góc phụ nhau:
sin
cos

[
[

]
]

𝜋
− 𝑎 = cos 𝑎
2
𝜋
−𝑎 = sin 𝑎
2

b) cos ( 𝑎 −𝑏 )=cos [ 𝑎+ ( −𝑏 ) ]

¿𝑐𝑜𝑠𝑎cos ⁡(−𝑏)– 𝑠𝑖𝑛𝑎sin ⁡(−𝑏)

¿𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 –𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏

KẾT LUẬN

5𝜋
cos
Tính
Ví dụ 2: (SGK – tr17)
12
Giải
Áp dụng công thức cộng, ta có:

(

5𝜋
𝜋 𝜋
cos
=cos
+
12
6 4

)

𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
¿ cos cos −sin sin
6
4
6
4

6 −√2
√
¿
4

Luyện tập 2

Tính

cos15 °
Giải

Áp dụng công thức cộng, ta có:
𝑜

𝑜

𝑜

𝑐𝑜𝑠 15 =𝑐𝑜𝑠(¿ 4 5 −3 0 )¿

6+ √2
√
¿
4

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ3.
HĐ 3:
a) Sử dụng công thức đối với sin và côsin, hãy tính theo và khi
các biểu thức đều có nghĩa.
b) Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính bằng cách biến đổi và
sử dụng công thức có được ở câu a.

THẢO LUẬN NHÓM

Giải
a)

𝑠𝑖𝑛 ( 𝑎+ 𝑏 )
𝑡𝑎𝑛 ( 𝑎+ 𝑏 )=
𝑐𝑜𝑠 ( 𝑎 +𝑏 )

𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑏+ 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑏
¿
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑏 − 𝑠𝑖𝑛𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏
𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏+𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏
¿
𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 − 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑏
𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝑏

𝑡𝑎𝑛 𝑎+ 𝑡𝑎𝑛 𝑏
¿
1−𝑡𝑎𝑛 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑏

Giải

b) tan ( 𝑎 −𝑏 )=tan [ 𝑎 + ( −𝑏 ) ]

𝑡𝑎𝑛 𝑎+ 𝑡𝑎𝑛 (− 𝑏 )
¿
1−𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑡𝑎𝑛 ( −𝑏 )

𝑡𝑎𝑛𝑎− 𝑡𝑎𝑛𝑏
¿
1+𝑡𝑎𝑛𝑎𝑡𝑎𝑛𝑏

KẾT LUẬN

(Khi các biểu thức đều có nghĩa)

7𝜋
𝑡𝑎𝑛
Tính
Ví dụ 3: (SGK – tr17)
12
Giải
Áp dụng công thức cộng đối với , ta có:

(

5𝜋
𝜋 𝜋
𝑡𝑎𝑛
=𝑡𝑎𝑛
+
12
4 3

)

𝜋
𝜋
𝑡𝑎𝑛
+𝑡𝑎𝑛
4
3
¿
𝜋
𝜋
1− 𝑡𝑎𝑛
+𝑡𝑎𝑛
4
3
2

1+ √ 3 ( 1+ √ 3 )
¿
=
=−2 − √ 3
2
1− √ 3

Luyện tập 3

Tính

tan165 °
Giải

Áp dụng công thức cộng đối với , ta có:

tan 165 =tan ( 135 +30 )
∘

∘

∘

∘

∘

𝑡𝑎𝑛 135 + 𝑡𝑎𝑛 30
¿
∘
∘
1−𝑡𝑎𝑛 135 𝑡𝑎𝑛 30

¿ −2+ √ 3

2. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

Thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ4.
THẢO LUẬN NHÓM
HĐ 4:
Tính bằng cách thay trong công thức cộng.
Giải
•
tan 𝑎+ tan 𝑎
2 tan ⁡𝑎
¿ tan
tan
2 𝑎 ( 𝑎+ a ) = 1 − tan 𝑎 tan 𝑎 = 1 − tan 2 ⁡𝑎

KẾT LUẬN

𝐬𝐢𝐧 ⁡𝟐 𝒂=𝟐 𝐬𝐢𝐧 ⁡𝒂 𝐜𝐨𝐬 ⁡𝒂
¿ 𝟐
𝟐
𝐜𝐨𝐬 ⁡𝟐 𝒂=𝒄𝒐𝒔 ⁡𝒂− 𝒔𝒊𝒏 ⁡𝒂
𝟐 𝐭𝐚𝐧 ⁡𝒂
𝐭𝐚𝐧 ⁡𝟐 𝒂=
𝟐
𝟏 −𝒕𝒂𝒏 ⁡𝒂
(Khi các biểu thức đều có nghĩa)

NHẬN XÉT
• .

1+ cos ⁡2𝑎
1− cos ⁡2 𝑎
2
¿
; sin ⁡𝑎=
2
2
(thường gọi là công thức hạ bậc).

1
Ví dụ 4: (SGK – tr18) Cho sin 𝑎 +cos   𝑎= 2 . Tính: 𝑎¿

sin 2 𝑎;   𝑏¿ cos4 𝑎.

Giải

1
1
2
a) Do sin 𝑎+cos   𝑎= 2 nên ( sin 𝑎 +cos   𝑎 ) = 4

1
⇔ sin 𝑎+ cos 𝑎+2 sin 𝑎 cos   𝑎=
4
2

2

1
3
1
hay 1+2 sin 𝑎 cos   𝑎= 4 . Suy ra sin 2 𝑎 = 4 − 1=− 4 .
b) Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

1
cos 4 𝑎 =cos ( 2. 2 𝑎 )= 1 −2 sin 2 𝑎=−
8
2

Luyện tập 4
𝑎
Cho 𝑡𝑎𝑛 2 =− 2. Tính .

Giải

𝑎
Do 𝑡𝑎𝑛 =− 2 nên
2

(
)
𝑎
𝑡𝑎𝑛 𝑎=𝑡𝑎𝑛 ( 2.
=
2)
𝑎
1 − 𝑡𝑎𝑛 (
2 )
𝑎
2

2 𝑡𝑎𝑛

2

2. (− 2 )
¿
1 −¿ ¿

𝜋 √3
𝜋
cos
=
.
cos
.
Tính:
Ví dụ 5: (SGK – tr18) Biết
6
2
12
Giải

Ta có cos

2

π
1 +  cos
π
6
2+ √ 3
=
=
12
2
4

𝜋
Mà cos 12 > 0. Nên

√

𝜋
2+ √ 3
cos =
12
4

Luyện tập 5

π
π
Tính 𝑠𝑖𝑛 8 ,𝑐𝑜𝑠 8

Giải
(Vì )

(Vì )

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH
THÀNH TỔNG. CÔNG THỨC
BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
PHIẾU HỌC TẬP
Câu 1
a) (HĐ 5 – SGK tr.18) Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:

1
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏= ¿
2

b) Áp dụng kết quả câu a, hãy điền vào chỗ chấm sao cho được khẳng định đúng.

THẢO LUẬN NHÓM

Câu 1
a) (HĐ 5 – SGK tr.18) Sử dụng công thức cộng, rút gọn mỗi biểu thức sau:
Giải

¿ 2 𝑠𝑖𝑛 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑏

Câu 1
b) Áp dụng kết quả câu a, hãy điền vào chỗ chấm sao cho được khẳng
định đúng.

1
𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑜𝑠 𝑏= ¿
2
𝒂+𝒃

𝒂+𝒃

𝒔𝒊𝒏

𝒂− 𝒃

𝒂− 𝒃

KẾT LUẬN
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒐𝒔 𝒃= ¿+ 𝒄𝒐𝒔 ( 𝒂 − 𝒃 ¿ ¿
𝟐
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝒂 𝒔𝒊𝒏 𝒃=−
¿ − 𝒄𝒐𝒔 ( 𝒂 − 𝒃 ¿ ¿
𝟐

Ví dụ 6: (SGK – tr19)
−1
π
π
Cho sin 2 𝑥 = 3 . Tính A  =  sin x + 4 cos x − 4

(

) (

)

Giải

( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

π π1 π π π 1 π11 1
A = sin x+ cos x− = sin x+ +x−  + sin x+ −x+sin = sin2x+sin = − +1 =
4 42 4 4 4 2 223 3

Luyện tập 6

2
3𝑎
𝑎
cos
Cho cos 𝑎= 3 . Tính B  = cos
2
2
Giải

()

2

2
4 1+𝑐𝑜𝑠2 𝑎
−1
𝑐𝑜𝑠 𝑎=
= =
⇒ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎=
3
9
2
9
2

[ ( ) ( )]

3𝑎 𝑎 1
3𝑎 𝑎
3𝑎 𝑎
cos ⁡ cos ⁡ = 𝑐𝑜𝑠 + +𝑐𝑜𝑠 −
2 2 2
2 2
2 2

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
PHIẾU HỌC TẬP
Câu 2 (HĐ 6 – SGK tr.19)
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng và đặt rồi biến đổi các biểu thức sau
thành tích:
Gợi ý:

𝑢+𝑣
𝑢 −𝑣
cos 𝑢=cos ( 𝑎+ 𝑏 ) ; 𝑎=
; 𝑏=
2
2
THẢO LUẬN NHÓM

Giải
Ta có:

𝑐𝑜𝑠𝑢+𝑐𝑜𝑠𝑣=𝑐𝑜𝑠(¿𝑎+𝑏)+𝑐𝑜𝑠(¿𝑎−𝑏)=2𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏¿

Giải

𝑢+𝑣
𝑢 −𝑣
𝑎=
;
𝑏=
Mà ta có
2
2 , thay vào các biểu thức trên ta có:

KẾT LUẬN

Ví dụ 7: (SGK – tr19) Tính
11 π
5π
o
o
a ¿ sin
− sin
; b ¿ cos 105 + cos 15
12
12
Giải
11 π 5 π
11 π 5 π
+
−
11 π
5π
12
12
12
12
a ¿ sin
− sin
=2 cos
sin
12
12
2
2

( )

2π
π
1 √2
2
√
¿ 2 cos
sin =2. − . =−
3
4
2 2
2

Luyện tập 7

Giải

7𝜋
𝜋
sin ⁡ +sin ⁡
9
9
𝐷=
Tính
7𝜋
𝜋
cos ⁡
−cos ⁡
9
9

7𝜋
𝜋
sin ⁡ +sin ⁡
9
9 2 𝑠𝑖𝑛 4 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜋
𝐷=
9
3
− √3
=
7𝜋
𝜋¿
4𝜋
𝜋
3
cos ⁡
−cos ⁡ −2 𝑠𝑖𝑛 9 𝑠𝑖𝑛 3
9
9

Ví dụ 8: (SGK – tr20)
Hiệu điện thế và cường độ dòng điện trong một thiết bị điện lần lượt được
cho bởi các biểu thức sau:

(Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage)

Biết rằng công suất tiêu thụ tức thời của thiết bị đó được tính theo công thức:
Hãy viết biểu thức biểu thị công suất tiêu thụ tức thời ở dạng không có luỹ
thừa và tích của các biểu thức lượng giác.

Giải

𝑃=𝑢 . 𝑖= [ 40 sin ⁡(120 𝜋 𝑡 )+ 10 sin ⁡( 360 𝜋 𝑡 ) ] . [ 4 sin ⁡(120 𝜋 𝑡 )+sin( 360 𝜋 𝑡 ) ]

¿

¿ 80 ¿
¿

LUYỆN TẬP

50:50

Key

Câu 1. Giá trị của biểu thức

5𝜋
𝜋
𝜋
5𝜋
𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠
18
9
9
18
𝑃=
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
− 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛
4
12
4
12

A. 1

1
B. 2

C.

D.

√2
2

√3
2

Key

Câu 2. Khẳng định nào đúng trong các
khẳng định sau?
A.

C.

B.

D.