) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) )

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
(TIẾT 1)

NỘI
DUN
G
TIẾT

I.

ĐỊNH NGHĨA.

ĐỊNH NGHĨA.

HOẠT
ĐỘNG KHỞI
ĐỘNG

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm,
người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành
một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14).
Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc
hộp là lớn nhất.

Lời giải
Gọi x (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn
góc của tấm bìa.
Điều kiện 0 < x < 30.

Lời giải
Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh x (cm) ở bốn góc và gập
lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là
hình vuông với độ dài cạnh bằng (60 – 2x) (cm) và chiều cao bằng
x (cm).
Thể tích của chiếc hộp này là: V(x) = (60 – 2x) 2.x = 4x3 – 240x2 +
3600x(cm3).
Ta có V'(x) = 12x2 – 480x + 3600;
V'(x) = 0 ⇔ 12x2 – 480x + 3600 = 0 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) hoặc x =
30 (loại).
Lập bảng biến thiên:

Lời giải

Vậy để thể tích của chiếc hộp lớn nhất thì độ dài cạnh
của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) )

HÌNH
THÀNH
KIẾN THỨC

 HOẠT ĐỘNG 1

Cho hàm số với , có đồ thị như Hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là bao nhiêu?
Tìm sao cho .
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là bao nhiêu?
Tìm sao cho .

 HOẠT ĐỘNG 1

Lời giải
a) Giá trị lớn nhất của đồ thị hàm số trên đoạn là .
Với thì .
b) Giá trị nhỏ nhất của đồ thị hàm số trên đoạn là .
với thì .

Định
nghĩa

Cho hàm số xác định trên tập .
Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên tập nếu với mọi và tồn tại sao cho .
Kí hiệu hoặc .

Định
nghĩa

Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập nếu với mọi và tồn tại sao
cho .
Kí hiệu hoặc .

 CHÚ Ý!

Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số (mà không nói "trên tập ") thì ta hiểu đó là giá trị lớn
nhất hay giá trị nhỏ nhất của trên tập xác định của hàm số.
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập ,
ta thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập để kết luận.

Ví dụ 1:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Tập xác định của hàm số là .
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Ta có:
; dấu bằng xảy ra khi ,
tức là khi hoặc .
; dấu bằng xảy ra khi ,
tức là khi . Do đó .

Ví dụ 1:

Lời giải
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.
Với , ta có: .
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-1; 1]:

Từ bảng biến thiên,
ta được: .

 CHÚ Ý!

Trong thực hành, ta cũng dùng các kí hiệu để chỉ giá trị nhỏ nhất,
giá trì Iớn nhất (nếu có) của hàm số trên tập .
Do đó, trong Ví dụ 1 ta có thể viết:

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên khoảng .
Lời giải
Ta có: (vì ).
Tính các giới hạn:
Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng :

Ví dụ 2:

Lời giải

Từ bảng biến thiên, ta được: ;
hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng .

Ví dụ 3:
Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Lời giải
Gọi là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm
bìa. Điều kiện: . Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh ở bốn góc và
gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là
hình vuông với độ dài cạnh bằng và chiều cao bằng . Thể tích của chiếc
hộp này là:
Ta có:
(thoả mãn điều kiện) hoặc (loại).

Ví dụ 3:

Lời giải
Lập bảng biến thiên:

Vậy để thể tích của chiếc hộp là lớn nhất thì độ dài cạnh
của các hình vuông nhỏ phải cắt là .

⬩LUYỆN TẬP 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a)
b) trên khoảng .

Lời giải
a) Tập xác định của hàm số là .
Với ta có:
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn :

⬩LUYỆN TẬP 1

Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy:
.
b) Với ta có:
Ta có:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên :

⬩LUYỆN TẬP 1

Lời giải

Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên .

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
01

Ôn lại các kiến thức đã học trong bài

02

Hoàn thành các bài tập trong mục 2.1

03

Chuẩn bị bài cho tiết tiếp theo

) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) )

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
(TIẾT 2)

NỘI
DUN
G
TIẾT

II.

Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

 HOẠT ĐỘNG 2

Xét hàm số trên đoạn , với đồ thị như Hình 1.16.
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn .
b) Tính đạo hàm và
tìm các điểm mà .
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu
mút của đoạn và tại các điểm
đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này
với , số lớn nhất trong các giá trị này với .

 HOẠT ĐỘNG 2

Lời giải
a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, trên đoạn ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số là .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là .
b)
Vậy thì .

 HOẠT ĐỘNG 2

Lời giải
c) Ta có: ;

Do đó, số nhỏ nhất trong các giá trị này là -2 , số lớn
nhất trong các giá trị này là 1.
Ta thấy: .

Định
nghĩa

Giả sử là hàm số liên tục trên và có đạo hàm
trên , có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà
tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có
hữu hạn điểm trong đoạn mà đạo hàm bằng 0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số trên đoạn :

Định
nghĩa

 Tìm các điểm , tại đó bằng 0 hoặc
không tồn tại.
 Tính và .
 Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong
các số trên.
Ta có:

Ví dụ 4:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn .
 Lời giải
Ta có: hoặc (vì );

Do đó: .

Ví dụ 5:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Lời giải
Ta có: hoặc
(vì );

Do đó: .

⬩LUYỆN TẬP 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) trên đoạn ;
b) trên đoạn .
Lời giải
a) Ta có:
Do đó, hàm số đồng biến trên .
Ta có:
Do đó,

⬩LUYỆN TẬP 2

Lời giải
b) Ta có:
(thỏa mãn )

Do đó,

VẬN DỤNG
Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể
được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó là số người bị
nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là
tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

VẬN DỤNG
Lời giải
a) Với ta có:

Ta có:
Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người
trong 12 tuần đầu.

VẬN DỤNG
Lời giải
b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là:
Đặt , với
Ta có:

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi (tuần thứ 4).

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
01

Ôn lại các kiến thức đã học trong bài

02

Hoàn thành các bài tập trong mục 2.2

03

Chuẩn bị bài cho tiết học tiếp theo

) ) ) ) ) ) ) ) )

) ) ) ) ) ) ) ) )

BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ
(TIẾT 3)

NỘI
DUN
G
TIẾT

Làm bài tập trong SGk

⬩Bài 1:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) ; b) trên ;
c) ; d) .

Lời giải
a) Ta có: với mọi số thực .
Dấu "=" xảy ra khi .
Do đó, , hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

⬩Bài 1:

Lời giải
b) GTLN, GTNN của trên
Ta có:
Bảng biến thiên:

Do đó, , hàm số không có giá trị lớn nhất.

⬩Bài 1:

Lời giải

c) Ta có:

Do đó, , hàm số không có giá trị lớn nhất trên .

⬩Bài 1:

Lời giải

d) Tập xác định của hàm số là:

Do đó,

⬩Bài 2:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số
sau:
a) ;
c) ;

b) ;
d) .
Lời giải

a)

Do đó,

⬩Bài 2:

Lời giải
b) Ta có:

Bảng biến thiên:

Do đó, , hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

⬩Bài 2:

Lời giải
c) Tập xác định của hàm số là:
(thỏa mãn)
Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất,

⬩Bài 2:

Lời giải
d) Tập xác định của hàm số là .

Do đó,

⬩Bài 3:

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm
số sau:
a) trên đoạn ;
b) trên đoạn ;
c) trên đoạn ;
d) trên đoạn .

⬩Bài 3:

Lời giải
a) Ta có: (thỏa mãn)
Do đó,
b) Ta có:
(do )
Do đó,