Nhóm 4
Hằng số đẹp
Số pi được khám phá dựa trên nhu cầu tính chu vi và diện tích hình tròn, đặc biệt là ở Ai Cập rất giỏi hình học vì cần xây dựng kim tự tháp.
1. Lịch sử
Kí hiệu π được William Jones dùng đầu tiên vào năm 1706.
Tên pi do chữ peripheria (perijeria) có nghĩa là chu vi của đường tròn.
Vào thời xưa, đã có nhiều nhà bác học đã tính và đưa ra các giá trị khác nhau của số pi.
Số pi (π )
Người La Mã lấy pi ≈ 3,12
Người Ai Cập Cổ đại cho rằng pi ≈ 3,16
Người Babylon lấy pi ≈ 3,125
Ác si mét tính được pi ≈ 3,1428
Trương Hành ( Trung Quốc ) lấy pi ≈ √10 ≈ 3,162
Tổ Xung Chi lấy pi ≈ 3,1415926 (Điều đặc biệt là số này khá gần với giá trị pi chuẩn)
Ở Việt Nam, các cụ lấy pi ≈ 3,2
Ru đôn phơ (Người Đức) tính được pi với 35 chữ số thập phân.
Đến 1989, bằng máy tính điện tử, pi được tính với 4 tỉ chữ số thập phân!
VÍ DỤ
2/Cách tính số pi
Vẽ 1 vòng tròn R=1 đơn vị và 2 đa giác đều nội tiếp và ngoại tiếp của vòng tròn. 
Nếu đa giác đều đó là hình vuông thì trị số chu vi hình tròn sẽ ở giữa chu vi hình vuông nội tiếp và ngoại tiếp, nghĩa là trị số của Pi sẽ :
2 < p < 4
2,828 < p < 4
Trong thực tế người ta đã vẽ những đường tròn với những kích thước khác nhau và lấy chu vi của từng hình tròn đó chia cho bán kính mỗi cái và ra được số xấp xỉ là 355/113
- Người Babylone tính được con số pi bằng cách so sánh chu vi của 1 vòng tròn với đa giác nội tiếp trong vòng tròn đó, bằng 3 lần đường kính vòng tròn.
- Archimède đã dùng một đa giác có 96 cạnh, đã tính được 3,1408... < pi< 3,1429…
Ngày của Pi được tổ chức vào ngày 14 tháng 3 (ngày theo định dạng của Mỹ: mm-dd) lấy theo con số xấp xỉ quen thuộc của hằng số này. Vào ngày này, nhiều hoạt động sẽ được tổ chức tại rất nhiều nơi trên thế giới. Đặc biệt một số nơi (St. Bonaventure Department of Mathematics) còn tổ chức lễ hội đúng vào lúc 1:59 PM và kết thúc vào đúng 2 giờ 65 phút sau đó của ngày 14/3.
Ngày của số pi
"Why" vậy?
Bạn xem nhé:
Khi ghép lại ta sẽ có 3.14 159 265 là số xấp xỉ đến hàng thứ 8 của phần thập phân. Thật thú vị phải không bạn?
3
1
4
5
9
2
6
/
:
,
1
:
5
-
Bạn sẽ ngạc nhiên hơn nếu biết được rằng có nhiều ý kiến cho rằng hằng số Pi là 1 trong 5 con số tạo nên cả thế giới (Bốn hằng số còn lại là hằng số e, số ảo i, số 0 và số 1)
Và vì sao số Pi lại được
tôn vinh đến thế ???
3/Tính chất
Giá trị số của Pi viết đến 100 chữ số thập phân là:
3, 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679...
Trong toán học, Pi là số vô tỉ. Phân loại chi tiết hơn, Pi là một số siêu việt.
Chú thích: số siêu việt là số không phải là nghiệm của bất cứ phương trình đại số nào.
Lam be (Đức) chứng minh được pi là số vô tỉ
Lin đơ man (Đức) chứng minh thành công pi là số siêu việt.
Công thức có dùng số pi
π có mặt trong hình học liên quan tới hình tròn và hình cầu
Ngoài ra, góc đo 180° thì bằng với π rad.
Một vài bài toán có liên quan đến số pi
Giải tích
- Công thức Leibniz (cm):

- François Viète, 1593 (cm):
Liên phân số: π có mặt trong nhiều biểu thức liên phân số
Lý thuyết số
Xác suất để hai số nguyên được chọn ngẫu nhiên là nguyên tố cùng nhau là

Xác suất để một số nguyên được chọn ngẫu nhiên nó không chia hết cho một số chính phương là

- Giá trị trung bình của các cách viết một số nguyên dương như là tổng của hai số chính phương (có tính đến thứ tự) là.
Vật lí
- Hằng số vũ trụ:

- Hằng số Planck-Dirac:
S? 0
Số 0 là một số hữu tỷ, thực và phức.
Đây là chữ số cuối cùng được tạo ra trong hầu hết các hệ thống số, số 0 không phải là một số đếm (số đếm bắt đầu từ số 1) và nó không có mặt trong nhiều hệ thống số cổ và đã được thay bằng một chỗ trống hay một ký hiệu rất khác với các số đếm.
Trong hầu hết (nếu không phải tất cả) các hệ thống số, số 0 được xác định trước khái niệm `số nguyên âm` được chấp nhận.
Số 0 là một số nguyên xác định một số lượng hoặc một lượng có kích thước rỗng.
Một vài nhà toán học không chấp nhận số 0
Lịch sử số 0
Trong bản thảo Bakhshali (niên đại chưa rõ) được cho là khá cổ, số 0 đã có ký hiệu và được sử dụng với vai trò một con số.
Năm 498, nhà toán học và thiên văn học Ấn Độ Aryabhata là người tạo ra hệ thập phân hiện đại; hệ thống số của ông có một số 0 trong cách ký hiệu chữ số bằng chữ cái của ông.
Đến TK XVII, trong cùng thời với Brahmagupta, một số khái niệm về số không chắc chắn đã đạt được ở Campuchia, và có tài liệu cho thấy việc dùng số 0 sau này đã lan rộng đến Trung Quốc và thế giới Hồi giáo.
Người Olmec (miền Nam -Trung Mexico) bắt đầu sử dụng chữ số 0 (một hình vẽ vỏ sò) tại Tân Thế giới vào năm 40 (TCN) và không ảnh hưởng đến các hệ thống chữ số tại Cựu Thế giới.
Không thể chia một số cho 0
sin(0)=0, cos(0)=1, tang(0)=0, cotang(0) không xác định.
0! (giai thừa) là 1.
Số không là phần tử số đầu tiên dùng để dựng hệ thống số tự nhiên theo tiên đề Peano
Hàm số đơn giản nhất là hàm f(x) = 0 với mọi x. Khi biểu diễn hàm này trên hệ tọa độ vuông góc thì nó chính là trục hoành.
Tập hợp có số phần tử bằng 0 là tập hợp rỗng.
Tất cả các số, (trừ số 0) khi lũy thừa 0 thì bằng 1.
Tất cả mọi số khi làm phép nhân với 0 được kết quả là 0.
Là phần tử trung tính trong phép cộng (0 + x = x)
Là bội số của tất cả các số
Vài đặc tính của số 0
Số 1
Một (1) là một số tự nhiên ngay sau 0 và ngay trước 2.
Số 1 có một số tính chất số học đặc biệt:
Số 1 nhân với bất cứ số nào cũng cho kết quả bằng chính số đó: x, x.1 = 1.x = x
Mọi số đều viết được dưới dạng phân số với tử số là số đó còn mẫu số là 1.
Một số bất kì viết được dưới dạng số đó mũ 1.
Căn bậc n của 1 bằng 1.
Số 1 và số 0 được sử dụng chủ yếu trong công nghệ thông tin
Số ( số Pythagore )
được cũng được coi là một trong những hằng số phổ biến có nhiều ứng dụng trong các bài toán số học,hình học và giải tích
Để chứng minh: " là một số vô tỉ" ta có 2 cách chứng minh, cách hình học và cách đại số. cách đại số các bạn có thể tự chứng minh, sau đây là cách chứng minh bằng hình học :
Xét 1 tam giác vuông cân, độ dài tương ứng của các cạnh góc vuông và cạnh huyền là 2 số nguyên dương n và m.
Áp dụng Định lý Pytago => tỉ số m /n =
Mặt khác, ta dựng được 1 tam giác vuông cân nhỏ hơn với độ dài của các cạnh góc vuông và cạnh huyền tương ứng bằng m − n và 2n − m.
Áp dụng Định lý Pytago cho tam giác thứ hai:
=> tỉ số (2n − m) / (m − n)=
Vậy m/n = (2n − m)/(m − n)
=>phân số m/n không thể là phân số tối giản hay không phải là số hữu tỉ mà phải là số vô tỉ.
Số e
Hằng số toán học e là cơ số của logarit tự nhiên ( Còn có tên gọi là hằng số Euler hay hằng số Napier )
Số e là số siêu việt và là số vô tỉ.
Nó là một số thực và do đó có thể được biểu diễn bởi một phân số liên tục vô hạn không tuần hoàn.
1. Lịch sử
Công trình về logarit ( 1618) của John Napier có tính các số lôgarit tự nhiên từ hằng số này chứ chưa phát hiện ra nó.

Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức:

Ban đầu hằng số này được kí hiệu là b sau đó Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho nó vào 1727
2.Ứng dụng
Bài toán lãi suất kép của Jacob Bernoulli
Phép thử Bernoulli
Số e trong giải tích
Lý do chính để đưa ra số e, đặc biệt trong giải tích, là để lấy vi phân và tích phân của hàm mũ và logarit.
3.Đặc điểm
- Số e là số thực dương duy nhất mà
(Đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm số đó)
Số e là số thực dương duy nhất mà:
Số e là tổng của chuỗi vô hạn


trong đó n! là giai thừa của n.
Số e là số thực dương duy nhất mà
(nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1 / t từ 1 tới e là =1)
Số chữ số thập phân đã biết
Hằng số Fibonacci, (Hằng số nghịch đảo Fibonacci) kí hiệu là ψ, được định nghĩa là tổng nghịch đảo của tất cả các số Fibonacci:


Tỉ lệ giữa hai số hạng liên tiếp trong tổng này sẽ dần tiến đến tỉ lệ vàng. Bởi vì các phần tử này đều nhỏ hơn 1, sử dụng kiểm nghiệm tỉ lệ có thể chứng minh được rằng tổng này hội tụ.
Giá trị của ψ xấp xỉ bằng

Số ψ là số vô tỉ được Paul Erdős, Ronald Graham và Leonard Carlitz đưa ra, được Richard André-Jeannin chứng minh năm 1989.
Hằng số Fibonacci
Tỷ lệ lý tưởng (Golden Ratio) là gì?
Tỉ lệ vàng là tỉ lệ trên đoạn thẳng sao cho tỉ lệ giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn bằng tỉ lệ giữa đoạn lớn với cả đoạn thẳng.
Một trong những điểm thú vị nữa là tỷ lệ nghịch của nó: 1/1.618 = 0.618. Lạ lùng thay một trị số và nghịch đảo của nó có những con số lẻ giống nhau.
Tỉ lệ vàng thường được cho bằng : 1,618
Đã có những chứng cớ rằng tỷ số vàng có vẻ như con số toàn hảo của thiên nhiên. Ví dụ như cúc đại đoá:
Trái khóm có 3 xoáy là 5, 8 và 13. Lại một bằng chứng những con số này không phải ngẫu nhiên.
Những cọng hoa nhỏ trong cúc đại đóa mọc thành 2 xoáy từ trung tâm vươn ra ngoài. Xoáy thứ nhất có 21 hoa nhỏ, xoáy thứ 2 có 34. Con số này chính là con số Fibonacci. Trái thông cũng vậy. Vòng xoáy từ trung tâm có 5 và 8 nhánh. Xem hình dưới đây:
Hãy quan sát thử một bông hoa Hướng Dương, phần trung tâm của Hoa ở nhị và nhuỵ sẽ thấy các đường xoắn ốc đi theo đúng với Tỷ Lệ Vàng.
Không ai biết nhưng các khoa học gia suy đoán rằng các loài thực vật mọc theo hình thể xoáy ốc theo những con số Fibonacci vì nó tiết kiệm nhiều bề mặt hơn. Sắp xếp như thế, chúng gia tăng điều kiện tăng trưởng và do đó, nhiều điều kiện sinh tồn hơn..
Thiên nhiên chơi trò toán học với chúng ta?
Tỷ Lệ Vàng xuất hiện khắp mọi nơi trong tự nhiên
Nếu ai đã đọc tiểu thuyết ” Mật mã Davinci” chắc sẽ có sự hình dung về sự gây ngạc nhiên của tỉ lệ vàng. Tỷ lệ vàng là tỷ lệ thể hiện trực quan của số Phi: 1.618033988749895, hoặc là một dãy số liên tục gọi là chuỗi Fibonacci
Và các nhà sinh học nhận thấy rằng, bất cứ loài hoa nào được nhân loại gọi là ĐẸP thì đều có một bố cục liên quan đến Tỷ Lệ Vàng.
2.Tỉ lệ vàng trong đời sống
a/ Cơ thể con người
- Cơ thể con người cũng được phân chia theo tỉ lệ này, ví dụ chiều dài từ khuỷu tay đến cổ tay bằng chiều dài bàn tay nhân 1,618.
- Leonardo DaVinci là người đầu tiên chứng minh rằng cơ thể con người được làm bằng “các khối” mà tỷ lệ giữa chúng luôn là Phi.
- Nó xuất hiện trong hầu hết các bức tranh nổi tiếng của Leonardo Da Vinci. Ví dụ: bức tranh "The Last Supper" - Bữa tiệc cuối cùng và "Mona Lisa"
Trong bức tranh "The Last Supper", tất cả các chiều cơ bản của căn phòng và cái bàn ăn được vẽ với cơ sở của tỷ lệ vàng.
a/ Cơ thể con người
b/ Công trình kiến trúc
Kim tự tháp Mikerinos: cạnh đáy = 108m, chiều cao = 66m
Φ = 66/108 = 108/ (108 + 66)
Tháp Eiffel: chiều cao phần thân chính là 184.8m và chiều cao tháp là 300.5 m
Φ = 184.8 / 300.
Tỷ lệ vàng đã được áp dụng trong các kích thước kiến trúc của các công trình nổi tiếng như đền Parthenon Hi Lạp, các kim tự tháp Ai Cập và thậm chí của cả toà nhà trụ sở Liên hợp quốc tại New York. Một số kiến trúc Việt Nam cũng thể hiện tỷ lệ này.
Tỷ lệ này còn được tìm thấy trong vô số những kiệt tác mỹ thuật và thậm chí còn xuất hiện trong cả âm nhạc của Bethoven.
b/ Công trình kiến trúc
Định lý Apéry là một định lý toán học mang tên nhà toán học người Pháp Roger Apéry (1916 - 1994) chứng minh ra nó vào năm 1978.
Phát biểu
Giá trị của hàm Riemann Zeta ζ(3) là số vô tỉ: =


Lưu ý
ζ(3) là một chuỗi vô hạn nghịch đảo của lập phương (của các số nguyên dương)
Chứng minh ban đầu đã rất phức tạp và khó hiểu. Sau đó, một chứng minh tương đối ngắn đã tìm thấy bởi ứng dụng của đa thức Legendre
Hằng số Apéry
Hằng số Erdős–Borwein là tổng của tất cả các nghịch đảo của các số Mersenne (Số Mersenne là 1 số có dạng: 2n − 1 và là một số nguyên tố). Hằng số này mang tên hai nhà toán học Paul Erdős và Peter Borwein.
Theo định nghĩa giá trị của hằng số bằng:


với σ0(n) = d(n) là hàm ước số, có giá trị bằng tổng số ước số nguyên dương của 1 số tự nhiên. Để chứng minh các đẳng thức này, chú ý rằng chúng đều có dạng chuỗi Lambert và do đó có thể rút gọn được theo lí thuyết về chuỗi Lambert.
Erdős năm 1948 chỉ ra rằng E là một số vô tỉ.
Hằng số Erdős–Borwein
CÁC THÀNH VIÊN
Ngô Nguyễn Ý Thơ
Tôn Nữ Ngọc Quỳnh
Nguyễn Kiều Vân Anh
Trương Trần Bích Ngân
Nguyễn Anh Trúc