CHƯƠNG I
ĐA THỨC NHIỀU BIẾN
§2. CÁC PHÉP TÍNH VỚI ĐA THỨC NHIỀU BIẾN

NỘI DUNG BÀI HỌC
I

Cộng hai đa thức

II

Trừ hai đa thức

III

Nhân hai đa thức

IV

Chia đa thức cho đơn thức

KHỞI ĐỘNG
"Ở lớp 7, ta đã học cách thực hiện phép cộng, phép trừ,
phép nhân, phép chia các đa thức một biến. Em hãy nêu
lại quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các đa thức một biến"

“Các phép tính với đa thức nhiều biến được thực hiện
như thế nào, có giống với đa thức một biến không,
chúng ta sẽ tìm hiểu trong bài học ngày hôm nay”.

I. CỘNG HAI ĐA THỨC
a) Tổng P + Q được viết theo hàng ngang như sau:
P + Q = (x2 + 2xy + y2) + (x2 – 2xy + y2)
b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, ta được:
P + Q = (x2 + 2xy + y2) + (x2 – 2xy + y2)
c) Tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng
nhóm, ta được:
P + Q = (x2 + x2) + (2xy – 2xy) + (y2 + y2) = 2x2 + 2y2.

I. CỘNG HAI ĐA THỨC
Nhận xét:
Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:
- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang.
- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.
- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả
lại với nhau.

VÍ DỤ 1

Tính tổng của hai đa thức

P = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 và Q = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
GIẢI

Ta có: P + Q = (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ) + (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
= (x3+ x3) + (3x2y - 3x2y) + (3xy2 + 3xy2)+ (y3 - y3)
= 2x3+ 6xy2

LUYỆN TẬP 1

GIẢI

M + N = (x3 + y3) + (x3 – y3)
= x3 + y3 + x3 – y3
= (x3 + x3) + (y3 – y3) = 2x3

I. CỘNG HAI ĐA THỨC

Ví dụ 2: (SGK-tr12)

Giải
a) Hiệu P – Q được viết theo hàng ngang, trong đó đa thức Q
được đặt trong dấu ngoặc, ta được:
P – Q = (x2 + 2xy + y2) – (x2 – 2xy + y2).

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm
các đơn thức đổng dạng với nhau, ta được:
P – Q = x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2= (x2 – x2) + (2xy + 2xy) + (y2 – y2).
c) Tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm như sau:
P – Q = (x2 – x2) + (2xy + 2xy) + (y2 – y2) = 4xy.

Nhận xét

Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang,
ta có thể làm như sau:
+) Viết hiệu P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức
Q được đặt trong dấu ngoặc.
+) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức
của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với
nhau.
+) Thực hiện phép tính trong từng
nhóm, rồi cộng các kết quả lại với nhau.

VÍ DỤ 3

Cho ba đa thức: A= x2 – 2xy + y2 ; B = 2x2 – y2 ; C=x2 – 3xy
Tính: a) A – B ;
b) A – C
GIẢI

a) Ta có: A – B = ( x2 – 2xy + y2 ) – (2x2 - y2)
= x2 – 2xy + y2 – 2x2 + y2
= (x2 – 2x2) – 2xy + (y2 + y2) = – x2 – 2xy + 2y2
b) Ta có: A – B = ( x2 – 2xy + y2 ) – (x2 – 3xy)
= x2 – 2xy + y2 – x2 + 3xy
= (x2 – x2 ) +( – 2xy + 3xy)+ y2

= xy + y2

Giải:
a) B – C = (2x2 – y2) – (x2 – 3xy)
= (2x2 – x2) + 3xy – y2

= 2x2 – y2 – x2 + 3xy
= x2 + 3xy – y2;

b) (B – C) + A = [2x2 – y2 – (x2 – 3xy)] + (x2 – 2xy + y2)
= (2x2 – y2 –x2 +3xy) + x2 – 2xy + y2
= x2 + 3xy – y2 + x2 – 2xy + y2= (x2 + x2) + (3xy – 2xy) + (y2 – y2)
= 2x2 + xy.

III.

Giải: a) Ta có 3x2 . 8x4 = (3 . 8) (x2 . x4) = 24x6.
b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:
Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:
+) Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với
nhau;
+) Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Nhận xét:
Tương tự như đối với đơn thức một biến, để nhân hai đơn thức
nhiều biến ta có thể làm như sau:
- Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau.
- Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.
Ví dụ 4

Tính tích: a) 3x2y3. 8x4y6 ;

b) 3x2y3z. 9x3y3z2

Giải:
a) 3x2y3. 8x4y6 = (3.8)(x2y3x4y6) = 24(x2x4)(y3y6) = 24x6 y9
b) 3x2y3z. 9x3y3z2 = (3.9) (x2y3zx3y3z2) = 27(x2x3)(y3y3)(zz2)
= 27x3y6y3z3

GIẢI:

Tích của hai đơn thức đã cho là:
x3y7 . (−2x5y3)

= −2 (x3. x5) (y7. y3)
= −2x8y10.

GIẢI:

a) Ta có: 11x3 . (x2 – x + 1)
= 11x3 . x2 – 11x3 . x + 11x3 . 1 = 11x5 – 11x4 + 11x3.
b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với
từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Quy tắc:
Muốn nhân một đơn thức
với một đa thức, ta nhân
đơn thức đó với từng đơn
thức của đa thức rồi
cộng các kết quả với
nhau.
Ví dụ 5: Tính tích
a) xy2.(x + y + xy)
b) (- xy)(6x3- 9xy + 3y3)

GIẢI
a) xy2.(x + y + xy)
= xy2x + xy2y + xy2xy
= x2y2 + xy3 + x2y3
b) (- xy)(6x3- 9xy + 3y3)
=(- xy)6x3-(-xy)(9xy) + (- xy)3y3
=(- .6)(xyx3) -(-.9)(xyxy)
+ (- .3)(xyy3)
= -2x4y + 3x2y2 - xy4

GIẢI:

(

)

1
2
2
− 𝑥𝑦 . ( 8 𝑥 −5 𝑥𝑦 +2 𝑦 )
2
1
1
1
2
2
¿ − 𝑥𝑦 .8 𝑥 − − 𝑥𝑦 .5 𝑥𝑦 + − 𝑥𝑦 .2 𝑦
2
2
2

(

)

(

)

(

)

5 2 2
3
¿−4 𝑥 𝑦+ 𝑥 𝑦 −𝑥 𝑦
2
3

Giải:
a) Ta có: (x + 1)(x2 – x += 1)
x . x2 – x . x + x . 1 + x2 – x + 1
= x3 – x2 + x + x2 – x + 1
= x3 + (x2 – x2) + (x – x) + 1= x3 + 1.
Quy tắc:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa
thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ 6

Tính: a) (x + y)(x + y);

b) (x + y)(x – y)

Giải:
a) (x + y)(x + y) = x2 + xy + yx + y2 = x2 + 2xy + y2
b) (x + y)(x – y) = x2 – xy + yx – y2 = x2 – y2
Tính: (x – y)(x – y)
Giải:
(x – y)(x – y) = x2 – xy – yx + y2 = x2 – 2xy + y2

Ví dụ 7

Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật với
độ dài hai cạnh là 2x + y (m) và 2x – y (m).
a) Viết đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn theo x và y
b) Tính diện tích của mảnh vườn khi x = 3; y = 2.
Giải:
a) Đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn là:
(2x + y)(2x – y) = 4x2 – 2xy +2yx – y2 = 4x2 – y2 (m2).
b) Với x = 3 và y = 2, diện tích của mảnh vườn là:
4.32 – 22 = 36 – 4 = 32 (m2).

Tương tự như trường hợp một biến, ta nói đơn thức nhiều
biến chia hết cho đơn thức nhiều biến (0) nếu tìm được
đơn thức sao cho

Nhận xét:
Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B 0), khi mỗi biến của B
đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.
Quy tắc: Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường
hợp A chia hết cho B), ta có thể làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số
của đơn thức B.
- Chia luỹ thừa của từng biến trong A
cho luỹ thừa của cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ 8

Tìm thương trong phép chia đơn thức 16x4y5z6 cho đơn thức 8x3y2.
Giải:
Ta có: (16x4y5z6) : (8x3y2) = (16 : 8)(x4 : x3)(y5 : y2)z6 = 2x2y3z6.
Vậy thương trong phép chia đơn thức 16x4y5z6 cho đơn thức 8x3y2 là:
2x2y3z6.
Giải:
- Ta có: P = (21x4y5) : (7x3y3)
= (21 : 7) (x4: x3) (y5: y3) = 3xy2.

- Giá trị của biểu thức P tại x =
−0,5; y = −2 là:
2

Tương tự như trên, ta nói đa thức nhiều biến A là chia hết cho
đơn thức nhiều biến B (B 0) nếu tìm được đa thức Q sao cho
A=B.Q.
Nhận xét:
Đa thức A chia hết cho đơn thức B (B 0) khi mỗi đơn thức
của A chia hết cho B.

Quy tắc:
Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B),
ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
Ví dụ 9

Tìm thương trong phép chia đa thức

15x3y2 – 20x2y3 + 25x4y4 cho đơn thức 5x2y2.
Giải:
Ta có: (15x3y2 – 20x2y3 + 25x4y4) : (5x2y2)
= (15x3y2):(5x2y2) – (20x2y3) : (5x2y2) + (25x4y4) : (5x2y2)
= 3x – 4y + 5x2y2
Vậy thương trong phép chia đa thức 15x3y2 – 20x2y3 + 25x4y4 cho
đơn thức 5x2y2 là 3x – 4y + 5x2y2

Tìm trong phép chia đa thức 12x3y3 – 6x4y3 + 21x3y4 cho
đơn thức 3x3y3.
Giải:
Thương trong phép chia đa thức 12x3y3 – 6x4y3 + 21x3y4 cho
đơn thức 3x3y3 là:
(12x3y3 – 6x4y3 + 21x3y4): (3x3y3)
= 12x3y3 : 3x3y3– 6x4y3 : 3x3y3+ 21x3y4: 3x3y3 = 4 – 2x+ 4y.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
Câu 1. Thu gọn đa thức 4y(x2−xy) − 5x2(y+xy) ta được kết quả là:
2
2
2
2 3y 3
B. −x
y−4xy
−5x
A. −x2y−4xy2+5x3y
B. −x
y−4xy
−5x y
C.  x2y+4xy2−5x3y
Câu 2.

D.  x2y−4xy2+5x3y

Đa thức N nào dưới đây thỏa mãn N − (3xy − 3y2) = 4xy +x2 − 9y2
2
2 2
A. N
= 7xy
−12y
A. N
= 7xy
+x2+x
−12y
B. N = 7xy + x2 +12y2
C. N = −7xy + x2 +12y2

D. N = −7xy −x2 +12y2

Câu 3. Đa thức nào dưới đây là kết quả của phép tính 
4x3yz −4xy2z2 − yz(xyz+x3)
3 3yz − 5xy
A. 3x
A. 3x
yz − 5xy2z2 2z2
C. −3x3yz − 5xy2z2

B. 3x3yz + 5xy2z2
D. 5x3yz − 5xy2z2

Câu 4. Chia đa thức (3x5y2+6x3y2−9x2y2) cho đơn thức  3x2y2 ta
được kết quả là: 
3
3
A.  x3 + 2x
+−2x
B.  xB. 
+ x2x
3 −3
C. 3x3 + 2x − 3
D. x3y + 2xy − 3

Bài 4 (SGK – tr17): b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không
phụ thuộc vào giá trị của biến x:

Giải
b) Ta có:

Giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

VẬN DỤNG

Bài 5 (SGK – tr17)
a) Chứng minh rằng biểu thức luôn nhận giá trị âm với mọi giá
trị của biến
b) Chứng minh rằng biểu thức luôn nhận giá trị dương với mọi
giá trị của biến và

Bài 5 (SGK – tr17)
Giải
a) Ta có:

Ta có:
Nhân hai vế của bất đẳng thức với ta
có:
Cộng hai vế của bất đẳng thức với ta
có:
Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm
với mọi giá trị của biến x.

Bài 5 (SGK – tr17)
Giải
b) Ta có:

Vì nên
Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và
y.

Bài 6 (SGK – tr17)
Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có
dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh
góc vuông lần lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau
khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng
độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm (cm)
và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm
(cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện
tích phần tăng thêm của miếng bìa theo và