TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

LỚP

11

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11
Chương 3: DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Bài 3. CẤP SỐ CỘNG
I

ĐỊNH NGHĨA

II SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
IIITÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG
IVTỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Tầng 20 (tầng đáy)? lon bia ?
Hỏi: Tầng thứ 20 có bao nhiêu lon bia?

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Bài tập mở
đầu
Cho dãy số: 4, 7, 10, 13,… Hãy chỉ ra mối liên hệ giữa hai số hạng
liền kề và viết tiếp năm số hạng của dãy số đã cho?
Giải:
 Mối liên hệ giữa hai số hạng liền kề:
+3
+3
+3
4,

7,

10,

Hãy nêu
công thức truy
hồi
của dãy số?

13,…..

 Vậy: …
 Viết tiếp 5 số hạng: 4, 7, 10, 16,
13, 19, 22, 25, 28,……
 Công thức truy hồi của dãy số:

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Bài tập mở đầu
∗

Ở  b à i   t ậ p   m ở đầ u :   D ã y   s ố(𝒖 ¿ ¿𝒏 ) c ó   𝒖𝒏 +𝟏=𝒖 𝒏 +𝟑 , ∀ 𝒏 ∈ ℕ ¿

Cấp số cộng

Hãy nêu công thức truy hồi của cấp số cộng
có công sai d

Công sai

TOÁN

I
I.

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

ĐỊNH NGHĨA:
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ

số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó
cộng với một số không đổi d. Số d gọi là công sai.
 Nếu () là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

Đặc biệt:

Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
Ví dụ : 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 với 5, 0.

TOÁN

I
I.

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

ĐỊNH NGHĨA:

 Nếu () là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:

Ví dụ
1

Dãy nào sau đây không là cấp số cộng?
a) -15; -3; 9; 21; 33; 45.

.

b) 2; 2; 2; 2; 2.

C ấ p   s ố  c ộ ng   c ó  𝒖 𝟏 =𝟐 , 𝒅

c) 12; 9; 6; 3; 0.

.

d) 5; 3; 1; 6; 7.

Kh ô ng   l à  c ấ p  s ố  c ộ

TOÁN

I I.

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

ĐỊNH NGHĨA:

 Nếu () là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi:
Ví dụ
2

Chứng minh dãy số
là cấp số cộng, tìm số hạng đầu và công sai?

Bài giải
ta có:



Do đó là cấp số cộng với và công sai .

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Cho cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai d
+? d

𝒖𝟐 =𝒖 𝟏 +𝟏 . 𝒅

+? d

𝒖𝟑 =𝒖 𝟐 + 𝒅=𝒖 𝟏 +𝟐 . 𝒅

+? d

𝒖 𝟒 =𝒖 𝟑 + 𝒅= 𝒖𝟏 +𝟑 . 𝒅

Tổng quát:

𝒖𝒏 =¿ 𝒖𝟏 + ( 𝒏 − 𝟏 ) . 𝒅

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT:
Định lí 1
Cấp số cộng có số hạng đầu , công sai d có số hạng tổng quát là:
()

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Bài toán: Cấp số cộng có và d = 3. Tính

Gi ả i :   𝒖 𝟐 𝟎 =𝒖 𝟏 +𝟏𝟗 𝒅=𝟏+ 𝟏𝟗 .𝟑=𝟓𝟖
Tầng thứ 20 có 58 lon bia.

TOÁN

Ví dụ
3

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Cho cấp số cộng có và .
a) Tìm .
b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Bài giải
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
 Vì nên
 Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số
cộng đã cho

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

Cho cấp số cộng có u1 = -4, u2 = -1. Biểu diễn các số hạng trên trục
số. Nhận xét vị trí của mỗi điểm so với hai điểm liền kề.
Ta có u1 = -4, u2 = -1 suy ra công sai của cấp số cộng là d= u2 u1 =3
Năm số hạng đầu của cấp số cộng là 8 được biểu diễn bởi các
điểm tương ứng trên hình vẽ
Nhận xét: điểm là trung điểm của đoạn thẳng hay
Ta cũng có kết quả tương tự với và

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

1. Định lí

Định lí 2
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số
hạng cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với
nó, nghĩa là:

với

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Ví dụ

2

Ví dụ 4
Tìm

để số: ; ;

theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Bài giải
Áp dụng tính chất của cấp số cộng
Ba số: ; ;

với ta có:

theo thứ tự lập thành cấp số cộng

.
Vậy thỏa mãn đề bài.

TOÁN

IV.

TỔNG

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

1. Định lí
Định lí 3
Cho cấp số cộng . Đặt . Khi đó

Chú ý
Vì nên công thức có thể viết

TOÁN

2

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Ví dụ
Ví dụ
5

Cho cấp số cộng biết .
a) Tìm số hạng đầu tiên; công sai và tổng ?
b) Biết . Tìm n ?

Bài giải
a) Ta có:
Vậy số hạng đầu tiên là ; công sai và tổng

TOÁN

2

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

Ví dụ
Ví dụ
5

Cho cấp số cộng biết .
a) Tìm số hạng đầu tiên; công sai và tổng ?
b) Biết

. Tìm n?

Bài giải
b) Vì nên theo công thức ta có:

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

B
V. LUYỆN TẬP

1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 1/Tr 97

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng
đầu và công sai của nó.
a) b) c) d)

Bài giải

Phương pháp chung: Xét hiệu
- Nếu là hằng số thì dãy số là cấp số cộng
- Nếu không phải hằng số thì dãy số không phải là cấp số cộng
a) ,
vậy dãy số là cấp số cộng có

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

B
V. LUYỆN TẬP

1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1/Tr 97

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng
đầu và công sai của nó.
a) b) c) d)

Bài giải
b) ,
vậy dãy số là cấp số cộng có
c) ,
vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
d) ,
vậy dãy số là cấp số công có

TOÁN

B

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

LUYỆN TẬP
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 2/Tr97
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết
a)
b)

Bài giải
Sử dụng công thức số hạng tổng quát
a) Ta có:

{

{

𝐮 𝟏 +𝟐 𝐝=𝟏𝟎
𝐮 𝟏 =𝟏𝟔
⇔
⇔
𝟐 𝐮 𝟏 +𝟓 𝐝=𝟏𝟕
𝐝=− 𝟑
Vậy

TOÁN

B

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

LUYỆN TẬP
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 2/Tr97

Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết
a)
b)

Bài giải
b) Ta có:

[

{

𝐝=𝟐
𝐝=𝟐
⇔
⇔ 𝟐
⇔
𝐮𝟏 +𝟏𝟒 𝐮 𝟏 −𝟓𝟏=𝟎
( 𝐮𝟏 +𝟐 ) ( 𝐮𝟏+ 𝟏𝟐 ) =𝟕𝟓
Vậy và

hoặc và

{[

𝐝= 𝟐
𝐮 𝟏 =𝟑
𝐮 𝟏=−𝟏𝟕

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

LUYỆN TẬP
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

B

Bài 4/Tr 98

Mặt sàn của một ngôi nhà cao hơn mặt sân m. Cầu
thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm bậc, mỗi bậc cao cm.
a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt
sân
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân

Bài giải

a) Gọi chiều cao của bậc thứ so với mặt sân là

ta   c ó: 𝐡𝐧 =𝟎 ,𝟓+𝐧 .𝟎 ,𝟏𝟖
b) Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân
là
𝐡𝟐𝟏 =𝟎 ,𝟓+𝟐𝟏 .𝟎 , 𝟏𝟖=𝟒 ,𝟐𝟖 ( 𝐦 )

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

2

2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 1
Dãy số nào
15
54sau đây là cấp số cộng?
9

A

.

B
B

..

Bài giải

Dãy số là cấp số cộng có công sai .
Chọn B.

C

.

6
D.

.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 2
Cho cấp số 54
cộng có số hạng tổng
15
9 quát là . Công sai
6 của cấp
số cộng là

A

.

B

.

Bài giải
Vì là cấp số cộng nên với ta có
.
Vậy công sai của cấp số cộng là .
Chọn C.

C
C

D

.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

CÂU 3
15

A

54các dãy sau, dãy nào
9 là cấp số cộng?6
Trong

B .

C
C

.

Bài giải
Xét từng phương án:
Phương án A: , ta có nên dãy số không là đổi CSC Loại A.
Phương án B: . Ta có: nên dãy số không là CSC Loại B.
Phương án C: làdãy số là CSC
Phương án D: . Ta có: nên dãy số không là CSCLoại D.

Chọn C.

D

.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 4
Cho
cấp
số
cộng
có
số
hạng
đầu
,
công
sai
.
Số
hạng
thứ
của
15
54
9
6
bằng

A
A

20.
Bài giải

Chọn A.

B

30.

C

162.

D 14.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 5
15

A

18.

54cấp số cộng có và9. Số là số hạng thứ
6
Cho
B

19.

Bài giải

Áp dụng công thức , ta có .

Chọn C.

C
C

20.

D 21.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 6
Biết
bốn
số
theo
thứ
tự
lập
thành
cấp
số
cộng.
Giá
trị
của
15
54
9
6
biểu thức bằng

A
A

-10.

B

12.

C

14.

D -2.

Bài giải
Bốn số theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên theo tính chất của
cấp số cộng ta có.
Vậy

Chọn A.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
CÂU 7
Cho
cấp
số
cộng
có
và
.
Tổng
mười
số
hạng
đầu
của
bằng
15
54
9
6
A

0.
Bài giải
.

Chọn D.

B

-30.

C

60.

D
D -15.

TOÁN

THPT

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11

I. ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ CỘNG
Dãy số được gọi là cấp số cộng
, không đổi.
CẤP SỐ
CỘNG

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
với
III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ
CỘNG
với
IV. TỔNG SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ
CỘNG
Hoặc