Chào các em !
CHUONG III
BàI 3

C?P S? C?NG
1/ Định nghĩa

Cho dãy số: 3, 1, -1, -3, -5, …
Hãy tính: u2 - u1, u3 - u2 , u4 - u3 , … Từ đó nhận xét gì quy luật của dãy số đó ?
G
Ta có: un+1 un = - 2, với mọi n = 1,2,3,…suy ra un+1 = un + 2 với n = 1,2,3, …
C?p s? c?ng l� m?t dóy s? h?u h?n ho?c vụ h?n),trong dú, k? t? s? h?ng th? hai, m?i s? h?ng d?u l� t?ng c?a s? h?ng d?ng ngay tru?c nú v?i m?t s? khụng d?i d g?i l� cụng sai.

un+1 = un + d ( n = 1, 2, 3, .... )
Kớ hiờu : u1 , u2 , u3 , ... un, .....
Ví dụ
Ví dụ 1.
Dóy s? : 1, 1, 1, 1, 1. L� m?t c?p s? c?ng v?i u1 = 1 , d = 0 , n = 5
Ví dụ 2.
Ch?ng minh r?ng dóy s? sau l?p th�nh m?t c?p s? c?ng, xỏc d?nh s? h?ng d?u v� cụng sai c?a c?p s? c?ng dú
3, 14, 25, ..., 11n - 8, ...
Giải :
Ta cú un+1 - un = 11(n + 1) - 8 - (11n - 8) = 11 khụng d?i v?i m?i n = 1, 2, 3, ... T?c l� un+1 = un + 11 v?i m?i n = 1, 2, 3, ... Võy dóy s? trờn l� c?p s? c?ng cú u1 = 3, d = 11
Hoạt động 1.
Trong các dãy sau dãy nào là cấp số cộng:
a/ -5 , -2 , 1 , 4 , 7 , 10.
b/ 3 , 5 , 5 , 6 , 5, , 10 , 5 , 12.
Hướng dẫn
a/ Dãy a / là cấp số cộng với u1 và d = 3
b/ Dãy b/ không phải cấp số cộng
Nhận xét ?

Ta thấy cấp số cộng được định nghĩa bằng phương pháp truy hồi, do đó một cấp số cộng được xác định khi ta biết các yếu tố nào?

2/ Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Cho cấp số cộng (un) , biết u1 và d . Hãy tìm un ?
Ta có : u2 = u1 + d
u3 = u2 + d
................
un = un-1 + d
Cộng vế với vế n - 1 đẳng thức trên ta được un = u1 + ( n - 1)d

Định lí 2
Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức
un = u1 + ( n - 1 )d


Hoạt động 2
Cho cấp số cộng (un) có u1 = 13 và công sai d = - 3.
Hãy tính u31 ?
Hướng dẫn
Ta có u31 = u1 + 30 d = -77
un = u1 + (n-1)d
Ví dụ 3
Tỡm s? l? th? 1000 ?
Giải
Các số lẻ : 1, 3, 5, ... Lập thành một cấp số cộng có u1 = 1; d = u2 - u1 = u3 - u2 = ... = 2
Do đó un = u1 + (n - 1)d = 1+ (n - 1)2 = 2n - 1
Suy ra : u1000 = 2.1000 - 1 = 1999
Vậy số lẻ thứ 1000 bằng 1999
Ví dụ 4
Cho một họ các đưòng tròn đồng tâm (o,r1),
(o,r2), …, (o,rn),… mà dãy số(rn) là cấp số
cộng có số hạng đầu bằng 3.
Gọi u1 là diện tích hình tròn (o,r1) và mỗi
số nguyên n >1, gọi un là diện tích hình vành
khăn tạo bởi đường tròn (o,rn-1) và đường tròn
(o,rn).
Chứng minh rằng (un) là một cấp số cộng.Hãy
xác định công sai số hạng tổng quát của cấp số
cộng đó.



Giải:
Đặt r0 = 0. Khi đó, với mỗi n > 0, ta có:
un = Π(rn2 – rn-12 ) = Π (rn – rn-1)(rn + rn-1) = 3 Π(rn + rn-1)
Suy ra un+1 – un = 3 Π(rn+1 + rn – rn – rn-1) = 3 Π(3+3) = 18 Π
Do đó (un) là một cấp số cộng với công sai d = 18 Π, và số hạng đầu
u1 = 3Π(r1 + r0) =9Π.
. Từ đó, theo định lí 2, ta đựơc un = 9Π + (n-1).18 Π.=992n-1) Π.,n>0.


3/ Tính chất các số hạng của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng (un) , tìm mối liên hệ giữa ba số hạng liên tiếp uk-1 , uk , uk+1 với k = 2, 3,... ?
Ta có : uk-1 = u1 + (k - 2)d
uk+1 = u1 + kd
Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được : uk-1 + uk+1 = 2u1+ 2(k - 1) = 2uk
uk = ( uk-1 + uk+1) / 2
Định lí 1:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là
uk = (uk-1 + uk+1) / 2 (k ? 2) (3)
Nhận xét : điều ngược lại cũng đúng
Em hãy giải thích ?

Hoạt động 3.
Cho cấp số cộng (un) có u1 = -1 và u3 = 3. Hãy tính u2 và u4 ?
Hướng dẫn
u2 = 1, u4 = 5
Ta có: u1 + u3 = 2u2 ; u2 + u4 = 2u3
4/ tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng (un), hãy tính tổng Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un ?
Vận dụng nhận xét 2 ở mục 1:
u2 + un-1 = u3 + un-2 = ... = u1 + un
Ta viết tổng Sn dưới hai dạng :
Sn = u1 + u2 + u3 +... + un-1 + un
Sn = un + un-1 + ... + u2 + u1
Suy ra : 2Sn = n(u1 + un)
Vậy : Sn = n (u1 + un) / 2
Liên hệ với công thức tổng quát un = u1 + (n-1)d
Ta có : Sn = n [2 u1 + (n - 1 )d] / 2
u1
un
u2
un-1
un
u1
Định lí 3
Để tính tổng Sn ta có hai công thức sau :
Sn tính theo u1 và un
Sn = n (u1 + un) /2
Sn tính theo u1 và d
Sn = n [ 2 u1 - ( n -1 )d ] / 2
Hoạt động 4
Cho cấp số cộng (un) có u1 = -2 và công sai d = 2. Hãy tính tổng 17
số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó ?
Hướng dẫn
Sn = n ( u1 + un )/2 = n[ 2u1 + ( n-1)d]/2
S17 = 17 ( -2 + 30 )/2 = 238
Ví dụ
Ví dụ 5/ Gọi Sn , Sc , Sl , lần lượt là tổng của n số tự nhiên khác không, số chẵn khác không, số lẻ đầu tiên
Hãy tính : Sn , Sc , Sl ?
Giải
Các số tự nhiên khác không , các số chẵn khác không, các số lẻ, lần lượt lập thành các cấp số cộng, áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng ta được :
Sn = n (u1 + un ) / 2 => Sn = n (1 + n) / 2
Sn = n ( u1 + un ) /2 => Sc = n (n + 1)
Sn = n ( u1 + un ) / 2 => Sl = n2


Ví dụ 6 .
Một cấp số cộng (un) có u3 = - 15 , u14 = 18 . Tính u1 , d ? S20 ?
Giải
Theo (gt) ta có : u1 + 2 d = - 15 ( 1) và u1 + 13 d = 18 (2), trừ vế với vế (2) cho (1) ta được 11 d = 33 suy ra d = 3 , thay vào (1) có u1 = - 21
áp dụng công thức tính tổng
S20 = 20 [ 2 (- 21 ) + (20 - 1 ) . 3 ] / 2 = 150
Nhận xét :
Công thức Sn , un , nêu mối liên hệ giữa 5 yếu tố u1 , un , n , Sn , d
Biết 3 trong 5 yếu tố bằng cách lập hệ phương trình ta sẽ tìm được 2 yếu tố còn lại
Ví dụ7.
Một công ti TNHH thực hiện việc trả lương cho các kĩ sư theo phươngán sau : Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ti là 4,5 triệu đồng /quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, mức lương sẽ được tăng thêm 0,3 triệu đồng mỗi quý. Hãy tính tổng số tiền lương một kĩ sư nhận được sau 3 năm làm việc cho công ti.


Giải
Với mỗi số nguyên n, kí hiệu un(triệu đồng) là mức lương của kĩ
sư ở quý làm việc thứ n cho công ti. Theo giả thiết của bài toán ,ta có :
u1 = 4,5 và un+1 = un + 0,3 (n>0).Do đó , dãy số (un) là một cấp số cộng
với công sai d = 0,3. Vì mỗi năm có 4 quý nên 3 năm có 12 quý. Như thế
theo ycbt ta phải tính tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (un). Theo
định lí 2, ta có u12 = 4,5 + (12-1).0,3 = 7,8. Theo định lí 3,ta được:
S12 = 12.(4,5 + 7,8)/2 =73,8 (triệu đồng).
Công thức cần nhớ
un+1 = un + d ( n = 1, 2, 3, ... )
un = u1 + (n - 1)d (n = 1, 2, 3, ... )
uk = ( uk-1 + uk+1 ) / 2 ( k = 2, 3, ... )
Sn = n ( u1 + un ) / 2
Sn = n [ 2 u1 + ( n - 1 ) d ] /2

Luyện tập
Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 33, còn tích của chúng bằng 1287 . Tìm các số đó ?
Giải
Ta có: u1 + u2 + u3 = 33 (1) và u1.u2.u3 = 1287 (2) . Do u1 + u3 = 2 u2 nên từ (1) ta suy ra u2 = 11, kết hợp với (2) ta có ( 11 - d ). 11. (11 + d ) = 1287 suy ra d =2 hoặc d = - 2.Vậy 3 số cần tìm là: 9,11,13
Bài 1
Bài 2
Cho cấp số cộng có u2 = 3; u7 = 13
1/ Tính u1, d , S10 ?
2/ Số 31 có phải là số hạng của cấp số đã cho hay không ? Nếu phải
thì là số hạng thứ bao nhiêu ?
Hướng dẫn
1/ d = ( u7 – u2 )/ (7-2) =2
u1 = u2 – d = 1; u10= 19 ; S10 = ( u1 + un )/2 = 50
2/ Giả sử số 31 là số hạng thứ x của cấp số cộng đã cho. Điều kiện
x nguyên dương. Ta có: u x = u1 + ( x - 1)d = 31,suy ra (x-1)2 = 30
do đó x = 16. Vậy là số hạng thứ 16 của cấp số cộng đã cho.
Bài tập
Bài : 1 đến 8 trang 99 - 100
Bổ sung . CMR : Tam giác ABC có 3 góc sao cho cot (A/2) , cot (B/2) , cot (C/2) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì 3 cạnh a, b, c, theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng
Phương án 1
Phương án 2
Em chọn lối nào ?
Khi kí hợp đồng lao động với các kĩ sư tuyển
dụng, công ti liên doanh A đề suất 2 phương
án để người lao động tự chọn. Hai phương án
đó chỉ khác nhau ở điều khoản về mức lương
mà người lao động được nhận; Cụ thể :
?
Ở phương án 1 : Người lao động được nhận 36
triệu đồng cho năm lao động đầu tiên, và kể từ
năm làm việc thứ hai, mức lương sẽ được thêm
3 triệu đồng mỗi năm
Ở phưong án 2 : Người lao động sẽ nhận được 7
triệu động cho mỗi quý làm việc đầu tiên, kể từ
Quý làm việc thứ hai , mức lương sẽ được tăng
thêm 500 000 đồng mỗi quý.
Nếu em là người kí hợp đồng lao động với công ti A em chọn P.A?
Hướng dẫn bài tập về nhà
Để làm bài 6 và bài 8 thuận lợi các em cần lưu ý:
Liên hệ giữa tổng S và tích P của cấp số cộng hữu hạn
Nếu cấp số cộng có ba số hạng thì ta có thể gọi ba số hạng của cấp đó theo thứ tự là :
x - d, x, x + d, khi đó S = 3x, P = x(x2 - d2 )gọi 4 số hạng đó theo thư tự là :
X - 3r, x - r, x+ r, x - 3r, khi đó S = 4x; P = (x2 - r2)(x2 - 9r2)
Cảm ơn
Cấp số cộng và ứng dụng