Dạng 7
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Chuyên đề: Hàm số
Nội dung
Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Dạng 7A.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn số phụ
Dạng 7C.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn
Dạng 7A
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Bài tập mẫu
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Giải.
Đặt
Điều kiện






Bài tập mẫu (tt)
Ta có:
So sánh ba giá trị trên, ta được





Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Lưu ý
1. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, nếu trong đầu bài có sin2x, cosx thì ta đặt t = cosx => -1  t  1 ; sin2x = 1-t2 . Ta trở về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(t).
2. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ;b] , ta làm như sau :
Tính f ’(x) ; tìm nghiệm của phương trình f ’(x) trên đoạn [a ;b], giả sử là x1, x2,…, xn
Tính các giá trị f(x1), f(x2), …, f(xn) và f(a), f(b).
So sánh các giá trị trên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Bài toán tương tự
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Giải.
Ta có:



Ta có:
so sánh ba giá trị trên, ta được
 
Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Dạng 7B
Sử dụng phép đặt ẩn số phụ
Bài tập mẫu
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
Giải.
Ta có

Đặt

Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ
Bài tập mẫu (tt)
So sánh bốn giá trị trên, ta được
Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ
Lưu ý
1. Trong bài toán trên nếu không sử dụng phép đặt ẩn phụ mà tính đạo hàm để xét biến thiên của hàm số thì sẽ dài, phức tạp.
2. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, trong trường hợp có thể, ta nên sử dụng phép đặt ẩn số phụ để đưa về hàm số đơn giản hơn.
3. Khi đặt ẩn số phụ t, được hàm số f(t), ta phải tìm tập giá trị tương ứng của t và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(t) trong tập giá trị trên.
Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ
Bài toán tương tự
Cho sinx + siny = -1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Q = sin3x + sin3y
Giải
Ta có


Đặt
Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ
Bài tập tương tự
so sánh các giá trị trên, ta được



Lưu ý
Trong bài toán trên, khi đặt t = sinx, mà đưa ra điều kiện -1 t  1 là sai.
Phải thấy rằng .
Do đó hàm số f(t) chỉ xét trên [-1; 0].

Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ
Dạng 7C
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn
Bài tập mẫu
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Giải
Đặt

Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn
Bài tập mẫu (tt)
Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi , suy ra
t  -2  f’(t) = 4t3 – 12t + 1  f’(-2) < 0
t  2  f’(t) = 4t3 – 12t + 1  f’(2) > 0
Hàm số f(t) liên tục và nghịch biến trong (-  ; -2) nên với t -2
 f(t)  f(-2) = - 4.
Hàm số f(t) đồng biến trong (2 ;+) nên với t 2  f(t)  f(2) = 0.
Ta được
Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn
Lưu ý
Khi đặt nếu sử dụng bất đẳng thức Cauchy để có điều kiện là sai.
Ta phải viết
Ta có
Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn
Bài toán tương tự
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , với x là số thực dương.
  Giải
Đặt






Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn
Bài toán tương tự (tt)
Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi t 2,
với t  2  f(t) = t3 – 3t2 + 6  f(2) = 2
Ta được

Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn