§1. Hệ tọa độ trong không gian:
1) Hệ trục tọa độ trong không gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2) Tọa độ của véc tơ:

Tính chất: Cho các véc tơ
và số k tùy ý, ta có:






3) Tọa độ của điểm:

4) Liên hệ giữa tọa độ của véc tơ và tọa độ của hai điẻm mút:
A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) thì

5) Tích có hướng của hai véc tơ: Tích có hướng của hai véc tơ
là một véc tơ, ký hiệu là
. Tích có hướng có những tính chất và ứng dụng sau:



đồng phẳng (

6) Phương trình mặt cầu tâm I(x0; y0; z0) bán kính R là: (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2.
Ngược lại, pt x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 là pt của mặt cầu tâm I(- a; - b; - c) bán kính
nếu
> 0
Bài tập áp dụng:
1. Cho ba véc tơ
Tìm tọa độ của véc tơ
biết:




2. Bộ ba điểm A, B, C nào sau đây thẳng hàng:
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1); b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1);
c) A(0; -2; 5), B(3; 4; 4), C(2; 2; 1); d) A(1; -1; 5), B(0; -1; 6), C(3; -1; 5);
e) A(1; 2; 4), B(2; 5; 0), C(0; 1; 5); f) A(1; 1; 1), B(0; -1; 0), C(3; 5; 3);
3. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ.
b) Trên các trục tọa độ.
4. Cho điểm M(x; y; z). Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua:
a) Gốc tọa độ; b) mp(Oxy; c) Trục Oy.
5. a) 3 điểm A(-1; 6; -5), B(7; 3; 4), C(x; y; 8). Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng.
b) Cho A(-1; 2; 4), B(2; -5; -7). Tìm M ( mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
c) Cho A(-1; 3; 4), B(2; -5; 11). Tìm M ( mp(Oxy) để MA + MB nhỏ nhất.
6. a) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1, 0, 1), B(2, 1, 2), D(1, -1, 1), C’(4, 5, -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
b) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(x1, y1, z1), C(x3, y3, z3), B’(x’2, y’2, z’2), D’(x’4, y’4, z’4). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
7. CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật. Tính độ dài các đường chéo, tọa độ tâm và góc giữa hai véc tơ

8. CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành. Tính độ dài các đường chéo và diện tích của hình bình hành đó.
9. Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đường thẳng AB cắt mp(Oyz) tại điểm M. Điểm M chia đoạn AB theo tỷ số nào? Tìm tọa độ của điểm M.
10. Cho ba véc tơ
Tính:


11. Tính góc giữa hai véc tơ
trong mỗi trường hợp sau: