PHÉP TÍNH LÔGARIT

Thang Richter được sử dụng để đo độ lớn các trận
động đất. Nếu máy đo địa chấn ghi được biên độ lớn
M
6
1μm
=
10
m
A

10
μm

nhất của một trận động đất là
thì trận động đất đó có độ lớn bằngM độ Richter.
Người ta chia các trận động đất thành các mức độ như
sau:

3,9
6,9
7,9
4,9
3,
5,

6,
7,
4,μm
8,
2,9
057634 082,9
3,9
5,9
6,
7,9
4,9
95,9
10
10

10

Bài toán t×m x tho¶:
x

a. 2 8,

1
b. 2  ,
16
x

c. 2 x 5.

được gọi là tìm logarit cơ số 2 của 8, của
1/16 hoặc của 5.
Đọc là: “ Lô-ga-rít cơ số 2 của 8''
VËy tæng qu¸t logarit c¬ sè a cña b lµ g×?
Tån t¹i khi nµo?
Logarit cơ số a của b có nh÷ng tÝnh chÊt g×?

1. Khái niệm lôgarit
Độ lớn M (theo độ Richter) của một
trận động đất được xác định như

a) Tìm độ lớn theo thang Richter của các
trận động đất có biên độ lớn nhất lần
lượt là103,5  m ; 100 000  m ; 100.104,3  m

A nhất
65000  m
b) Một trận động đất có biên độ lớn
M

thì độ lớn

của nó phải thỏa mãn hệ

1. Khái niệm lôgarit

a)
Biên độ lớn nhất  m 103,5 100 000 105 100.104,3 106,3
Độ Richter
3,5
5
6,3
b) Độ lớn M phải thỏa mãn hệ thức 10 M 65000

PHÉP TÍNH LÔGARIT
1. Khái niệm lôgarit
Cho hai số a , b  R , a 1 . Số  thỏa

mãn đẳng thức a b được gọi là
logarit cơ số a của b. Kí hiệu log a b.





 log a b  a b.
Ví dụ.

log 5 25 2

vì

2

5 25.

Chó ý: Sè ©m vµ sè 0 kh«ng cã l«garit

Ví dụ 1: Viết các đẳng thức lũy
thừa sau thành đẳng thức
lôgarit:5
a ) 3 243  log 3 243 5
1
1
 log10
 2
b) 10 
100
100
2

c)

 3  1
0

 log 3 1 0

Ví dụ : Viết các đẳng thức lũy
thừa sau thành đẳng thức
lôgarit:
3
 log 4 64 3
a ) 4 64
1
1
 log12
 3
b) 12 
1728
1728
3

c)

 5  25  log
4

5

25 4

Chú ý:

Biểu thức log a b chỉ có nghĩa khi

 loga1 = 0,

a  0, a 1, b  0

 logaa = 1
a

loga b



b , log aa 

Hai công thức cuối cho thấy phép lấy
lôgarit và phép nâng lên lũy thừa là
hai phép toán ngược nhau

Ví dụ 2: Tính

1
2
a ) log 2
log 2 2  2
4

b) 9

log3 5

 
3 

log3 5
2

3

2
log3 5

2log 3 5

3

2

5 25

Chú ý:

Biểu thức log a b chỉ có nghĩa khi

 loga1 = 0,

a  0, a 1, b  0

 logaa = 1
a

loga b

Ví dụ: Tính

b , log aa 

a. log 2 2 2.

c. 4

log 2 7



log5 6

b. 25

 1 
d.  
 25 

1
log5
3

Ví dụ: Tính

3
2

3
a. log 2 2 2 log 2 2 
2
log5 6

b. 25

5





log
6
5
2



2
log5 6

5

5

2 log5 6
2

6 36

Ví dụ: Tính

c. 4

log 2 7

2



2



log
7
2
2

log 2 7

2

2 log 2 7

  7  7
2

2

Ví dụ: Tính

 1 
d.  
 25 
 1
 2 
5 

1
log5
3

1
log5
3


 5


1
log5
3

2

1
 2 log5 3

5



2

1

  2 log5 
3


5


 1
2
   3 9
 3


HĐTH 1:

Tính

1
3

1
a ) log 3 3
log 3 3 
3
3
1
b) log 1 8 log 1    3
2
2
2 
3

 1 
c)  
 25 

log5 4

HĐTH 1:

Tính
log5 4

 1 
c)  
 25 
2
5

 

log5 4

1
4 
16
2



log5 4

5



2

2. Tính lôgarit bằng máy tính cầm tay
Chú ý

a) Lôgarit cơ số 10 được gọi là
lôgarit thập phân. Ta viết: log N
hay lg N Thay cho log10 N
b) Logarit cơ số e còn được gọi là
logarit tự nhiên. Ta viết: ln N
Thay cho log e N

HĐTH 2 : Sử dụng máy tính cầm tay,
tính giá trị các biểu thức sau (làm tròn
kết quả đến chữ số thập phân thứ sáu)
a ) log 5 0, 5  0, 430677
b) log 25

1, 397940

3
c ) ln
2

0, 405465

3. Tính chất của phép tính logarit
HĐKP 2
Cho các số thực dương a, M , N với
a 1. Bạn Quân đã vẽ sơ đồ và tìm ra
công thức biến đổi biểu thức log a MN 
Như sau: log M log N
log a M log a N
a
a
a
.a
a

MN

a

log a MN 

 log a MN log a M  log a N

a) Giải thích cách làm của bạn Quân.
b) Vẽ sơ đồ tương tự để tìm công
M
thức biến đổi cho log a
N
và log M     
a

3. Tính chất của phép tính logarit
Cho các số thực dương a, M , N với
a 1 , ta có:

1) log a ( M .N ) log a M  log a N .

M
2) log a ( ) log a M  log a N .
N


3) log a M  log a M

  R 

Chú ý:
Đặc biệt, với a, M , N dương, a 1 , ta có

1
 log a  log a N
N
 log a

n

1
M  log a M
n

n   


Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau

2
a ) log 2  log 2 12
3



2

2

b) log 3 9 .3
3

c) log 5 25



Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau

2
a ) log 2  log 2 12
3

2 
3
log 2  .12  log 2 8 log 2 2
3 
3log 2 2 3.1 3

Ví dụ 4: Tính giá trị các biểu thức sau



2

2

b) log 3 9 .3



4

2





6

log 3 3 .3 log 3 3 6
3

c) log 5 25

2
3

2
 log 5 5 
3

Ví dụ : Tính giá trị các biểu thức sau

9
a ) log 3  log 3 12
4
2 2
b) log 7 49 .7



c) log 6 1296
4



4. Công thức đổi cơ số
Cho các số thực dương a, b , N với
a 1, b 1 , ta có:
1
log a N 
 N 1
log N a
log b N
log b a.log a N log b N
log a N 
log b a
1
log a N  log a N


 0 

Ví dụ 1. Tính

log5 6

a. log 1 2 2.

b. 25

4

 49

log 7 8

.

3
2

Ta có a).log 2 2 log  2 2  3 .  1  .log 2  3 .
1
2
 
2
2  2
4
4
log 5 6

b).25

 49

2 log5 6

7

2

2

5

log 7 8

2 log 7 8

6  8 100.

2 log 5 6

(5 )
log 5 6 2

5

7

2 log 7 8

 (7 )

log 7 82





Ví dụ 2:

a. 9

Câu 1. Tính
log

2
3

1log9 4

c. 3

b.

.

4

2  log 2 3

5

log

3

27
.
3
9

log125 27

.

Câu 2. Cho  log 2 20. Tính log 20 5 theo



III. Logarit tự nhiên, logarit thập phân
 Logarit cơ số e của x gọi là logarit tự nhiên của
x.
Kí hiệu: lnx.
 Logarit cơ số 10 của x gọi là logarit thập phân của
x.
Kí hiệu: logx hoặc lgx.