§5. ĐƯỜNG ELIP
Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn? Xác định tâm và bán kính của nó (nếu có).
Bài cũ:
Trả lời:
Là phương trình đường tròn vì có:
Tâm I(2;-3), bán kính R=4.
(2) Không phải là phương trình đường tròn vì các hệ số của x2 và y2 không bằng nhau.
§5. ĐƯỜNG ELIP
§5. ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip:
H1: Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF1F2 như thế nào?
- Khi M thay đổi, chu vi của tam giác MF1F2 là không thay đổi và bằng chiều dài của sợi dây.
H2: Khi đó, tổng MF1+MF2 có thay đổi hay không? Vì sao?
- Tổng MF1+MF2 là không thay đổi vì MF1 + MF2 = CΔMF1F2 - F1F2
§5. ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip:
Cho hai điểm cố định F1 và F2, với F1F2 = 2c (c>0).
Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+MF2=2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.
Định nghĩa:
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
O
x
y
(-c;0)
(c;0)
(x;y)
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Giả sử M(x;y) (E), khi đó ta có:
(-c;0)
(c;0)
(x;y)
Do:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) ta có:
Từ:
Đây là phương trình chính tắc của elip.
và
Đặt:
,ta có:
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Giả sử M(x;y), khi đó ta có:
Do:
(*)
(**)
Từ (*) và (**) ta có:
Từ:
Đây là phương trình chính tắc của elip.
và
Đặt:
,ta có:
* Các đoạn MF1 và MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.
Với điểm M(x;y) thì ta có:
Chú ý:
* Từ công thức:
ta suy ra:
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 1:
Cho 3 điểm
và
a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I.
b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu?
Giải
a) (E) có phương trình chính tắc là:
Vì I(0;3)(E) nên ta có:
Vì 2c=F1F2 nên ta có:
Từ đó, suy ra:
Vậy phương trình chính tắc của (E) là:
Đáp số:
a)
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 1:
Cho 3 điểm
và
a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I.
b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu?
Giải
b) Ta có:
Đáp số:
a)
Mà:
Vậy:
b)
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 1:
Cho 3 điểm
và
a) Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I.
b) Khi M chạy trên elip đó, khoảng cách MF1 có GTNN và GTLN bằng bao nhiêu?
Giải
b) Ta có:
Đáp số:
a)
Mà:
Vậy:
b)
§5. ĐƯỜNG ELIP
2. Phương trình chính tắc của elip
Ví dụ 2:
Viết phương trình chính tắc của elip đi qua hai điểm
và
Xác định tọa độ các tiêu
điểm của elip đó.
Giải
Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng:
Vì (E) nên ta có:
Vì (E) nên ta có:
Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc là:
Ta có:
Vậy các tiêu điểm của (E) là:
và
§5. ĐƯỜNG ELIP
1. Định nghĩa đường elip:
F1, F2 được gọi là các tiêu điểm của elip.
F1F2=2c được gọi là tiêu cự của elip.
2. Phương trình chính tắc của elip:
Bán kính qua tiêu của điểm M(x;y)(E):
Phương trình chính tắc:
Trong đó: