BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP HAI

Khi tham gia giao thông một ô tô
đang chạy với vận tốc 54 km/h.(Hình
6) thì tài xế nhìn thấy một vật cản
phía trước. Để tránh va chạm vật cản,
người tài xế hãm phanh, ô tô giảm
vận tốc cho đến khi dừng hẳn.

Đại lượng đặc trưng cho sự
giảm vận tốc thể hiện kiến
thức gì trong toán học?

I. yĐỊNH
NGHĨA

3
2
y

x

4
x
5
• HĐ1: Xét hàm số
• a) Tìm y .
• b) Tìm đạo hàm của hàm số y .

Giải
3

a)

y ' 4 x  8 x

b)

 y '' 12 x

2

8

.

Định nghĩa
• Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm y '  f '  x 
x  a ; b 
y '  f 'x 
tại mọi điểm
x. Nếu hàm số
y'
tiếpxtục có đạo hàm tại thì ta gọi đạo
hàm
y
f  xcủa

tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số
tại
y ''
f ''  x 
Kí hiệu:
hoặc
.

Ví dụ 1. Cho hàm số
.
4
2
f  x hàm
x số
 4tạix điểm
 3 bất kì.
a) Tìm đạo hàm cấp hai của
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
.
x0  1
Ví dụ 2.

Cho hàm số

1
f x  
x2
a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm
.
x  2
b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại
x0 2
điểm
.

Giải
• Ví dụ 1
a) f '  x  4 x 3  8 x.
f ''  x  12 x  8.

• Ví dụ 2
a) f '  x  

2

b)

f ''  x  12 x 2  8

 f ''  1 12. 1  8 4.
2

1

x  2

f ''  x  
b) f ''  x  

.

2

2

x  2

3

2

x  2

 f '' 2  

3

.

.

2

2  2 

3

1
 .
32

HĐ2: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có
1 2
phương trình chuyển động s  gt , trong đó g là gia tốc
2
rơi tự do, g 9,8 m / s 2 .
a) Tính vận tốc tức thời tại thời điểm t0 4 s ; t1 4,1s .
v
b) Tính tỉ số
trong khoảng thời gian  t t1  t0 .
t

Giải
a, Vận tốc là đạo hàm cấp 1 của độ dời theo thời
gian.
v(t ) s '(t ) gt 9,8t

• Tính v(t0 ), v(t1 ) .

v(t0 ) 9,8.4 39,2 m / s ; v(t1 ) 9,8.4,1 40,18 m / s 

b,

v v (t1 )  v(t0 )

v 40,18  39,2


9,8 (m / s 2 )
t
4,1  4

II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM
Đạo hàm cấp hai s '' t  là gia tốc tức thời của
chuyển động s s t  tại thời điểm t .







Ví dụ 3. Xét dao động điều hòa có phương trình chuyển động
A
,

,

s t , A
cos

t


trong đó
là các hằng số. Tìm gia tốc tức thời
t
tại thời điểm của chuyển động đó

Giải
là vận tốc tức thời tại thời điểm t , ta

Gọi v t 
có:
v t  s ' t   A cos t    '  A sin t   .
Gia tốc tức thời tại thời điểm t là:
a t  s '' t    A sin t    '
 A sin t     A 2co s t   .

LUYỆN TẬP

HƯỚNG DẪN HỌC BÀI Ở NHÀ
Ghi nhớ kiến thức trong bài.
Hoàn thành các bài tập trong SBT, về làm bài 5 SGK tr 75.
Chuẩn bị bài mới: "Bài tập cuối chương VII".