Nêu các bước tính đạo hàm bằng
định nghĩa của hàm số y  f  x ?
Bước 1: Giả sử x là số gia của đối số tại x0, tính
y  f  x0  x   f  x0 
y
Bước 2: Lập tỉ số
x
y
Bước 3: Tìm lim
 x  0 x

sin
x
Đạo hàm của hàmxsố y = sin x

1 Giới hạn của
2

3 Đạo hàm của hàm số y = cos x
4 Đạo hàm của hàm số y = tan x
5

Đạo hàm của hàm số y = cot x

sin
x
1. Giới hạn của
x

sin x
Định lí 1: lim
1
x 0
x
tan x
Tính a) lim
x 0
x

1 x
sin
x  1 1 s
 sin x tan
1

lim
.
lim
lim . tan.lim

1.
Giải:
Ta có lim

x

lim
.



x 0
0
x 0 x x c
 x x cos
xx  xx00 xx x0 cos


sin
x
1. Giới hạn của
x

sin x
Định lí 1: lim
1
x 0
x

Ta
có

sin 5 x
lim

x 0
sin 5 x
5sin
5 xx
lim
lim
 sin 5
x 0
sin 5 x x 0 x
5
x
lim5 
b) lim
x 0
5x

x 0
sin
5
x

x lim5 


sin
5

x 0
 5 x  5lim 
x 0
 5x
sin 5 x
5sin 5 x
sin 5 x 

lim
lim
5lim 
 5.1 5

x 0
x
 sin 5 x 
lim5 

x 0
 5x 
x 0

5x

 5x 
5.1 5
x 0

sin
x
1. Giới hạn của
x

sin x
1
Định lí 1: lim
x 0
x

Ta
có

sin 5 x
lim

x 0
sin 5 x
5sin
5 xx
lim
lim
 sin 5
x 0
sin 5 x x 0 x
5
x
lim5 
b) lim
x 0
5x

x 0
sin
5
x

x lim5 


sin
5

x 0
 5 x  5lim 
x 0
 5x
sin 5 x
5sin 5 x
sin 5 x 

lim
lim
5lim 
 5.1 5

x 0
x
 sin 5 x 
lim5 

x 0
 5x 
x 0

5x

 5x 
5.1 5
x 0

1. Giới hạn của sin x
x

sin x
Định lí 1: lim
1
x 0
x
1
sin
x
c) lim
x  
1
x
1

1
Đặt u  . Khi x   thì u  0
x
x 1
sin
sin u
x
Vậy lim
 lim
1
x  
u 0
1
u
x

2. Đạo hàm hàm số y = sin x
Định lí 2:
R
Chú ý


sin
x
  cos x Ɐx ϵ


sin
u
  u.cos u, u u  x 



y sin  3x  
5


3. Đạo hàm hàm số y = cos x
Định lí 3: cos x  
R

sin x Ɐx ϵ


cos
u
   u.sin u , u u  x 

Chú ý

y cos  x  1
3


3
2
3
  x  1 sin  x  1  3x sin  x  1.
3

3. Đạo hàm hàm số y = tan x

1

Định lí 4: tan x   2 , x ≠ π/2+kπ, kϵZ
cos x
Chú ý

u

tan u   2 , u u  x 
cos u
y tan 3x  5
2

4. Đạo hàm hàm số y = cot x
Định lí 5: cot x  
Chú ý

1
2 , x ≠ kπ, kϵZ
sin x

u

cot u   2 , u u  x 
sin u
y cot 3x  7 
3

Tìm đạo hàm của hàm số y cot 3 3 x  1
y  cot 3 3 x  13cot 2 3x  1  cot 3x  1 
cot u
u3

với u = cot(3x-1)


3
x

1


3cot 2 3 x  1.
sin 2 3 x  1
cos2 3x  1
3
3 2
. 2
sin 3 x  1 sin 3x  1
 9 cos2 3 x  1

sin 4 3x  1

với u=3x-1

Bài tập củng cố
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a ) y sin 3x

e) y tan 3  4 x 4 

2

b) y sin   2 x
c ) y cos 3 x

3



2

d ) y cos   2 x 3 

f ) y tan 5 x  2 
3

c ) y cot 5  4 x 4 
d ) y cot  x 3  2 

n 
n 1
x

nx
 

n 
n 1
u

nu
.u
 

1
 1 
   2
x
 x
1

x 
2 x

 

u
 1 
   2
u
u
u

u 
2 u

sin x  cos x

sin u  ucos u

cos x  sin x

cos u   usin u

1
cos2 x
1

cot x   2
sin x

u

tan u   2
cos u
u

cot u   2
sin u

tan x  

 

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM