CHƯƠNG
I
CHƯƠNG VI. HÀM SỐ - ĐỒ THỊ VÀ
ỨNG DỤNG

§15. Hàm số
§16. Hàm số bậc hai
§17. Dấu của tam thức bậc
hai
§18. Phương trình quy về
phương trình bậc hai

CHƯƠNG
CHƯƠNG
VI. HÀMI SỐ - ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

TOÁN ĐẠI
SỐ
➉

17

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1 DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1
2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

3
4

BÀI TẬP

Xét bài toán vườn rào ở bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào (H6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét để mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn
48m 2

?

Thuật ngữ
• Tam thức bậc hai
• Dấu của tam thức bậc hai
• Bất phương trình bậc hai

Kiến thức, kĩ năng
• Giải thích Định lí về dấu của tam
thức bậc hai từ việc quan sát đồ thị
của hàm bậc hai.
• Giải bất phương trình bậc hai.
• Vận dụng bất phương trình bậc hai
vào giải quyết bài toán thực tiễn.

Xét bài toán vườn rào ở bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột
góc hàng rào (H6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét
để mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn ?

1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

HĐ1: Hãy chỉ ra một đặc điểm
chung của các biểu thức dưới đây

Luyện tập 1: Hãy cho biết biểu thức
nào sau đây là tam thức bậc hai.

Hướng dẫn: Theo định nghĩa Tam
thức
bậc
hai,
ta
có
biểu
thức
là
tam
Định nghĩa: Tam thức bậc hai ( đối
thức
bậc
hai,
với
với ) là biểu thức có dạng trong đó
là những số thực cho trước (với ),
Chú ý: Nghiệm của phương trình
được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai cũng được gọi là nghiệm của
bậc hai.
tam thức bậc hai .
Người ta thường viết Các đa thức
đã cho trong HĐ1 là những tam
thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có

và , với tương ứng được gọi là biệt
thức và biệt thức thu gọn của tam
thức bậc hai .
HĐ2: Cho hàm số bậc hai
a) Xác định hệ số . Tính và nhận
xét về dấu của chúng so với dấu
của hệ số
b) Cho đồ thị hàm số (H.6.17). Xét
trên từng khoảng đồ thị nằm phía
trên hay nằm phía dưới trục ?

c) Nhận xét về dấu của và dấu của
hệ số trên từng khoảng đó.

Hướng dẫn:
a) Hệ số ;
Dấu của cùng dấu với dấu của hệ
số ; dấu của trái dấu với dấu của
hệ số .
b) Trên khoảng và đồ thị hàm số
nằm phía trên trục ; trên khoảng
đồ thị hàm số nằm phía dưới trục .
c) Trên khoảng và dấu của cùng
dấu với dấu của hệ số ; trên
khoảng dấu của trái dấu với dấu
của hệ số .

HĐ3: Cho đồ thị hàm số như Hình
6.18

a) Xét trên từng khoảng đồ thị nằm
phía trên hay nằm phía dưới trục ?

b) Nhận xét về dấu của và dấu của
hệ số trên từng khoảng đó.
Hướng dẫn:
a) Trên khoảng và đồ thị hàm số
nằm phía dưới trục ; trên khoảng
đồ thị hàm số nằm phía trên trục .
b) Trên khoảng và dấu của cùng
dấu với dấu của hệ số ; trên
khoảng dấu của trái dấu với dấu
của hệ số .

Nhận xét:
Từ HĐ2 và HĐ3 ta thấy , nếu tam
thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt
thì luôn cùng dấu với hệ số với mọi
giá trị (ở ngoài khoảng hai nghiệm)
và trái dấu với hệ số với mọi giá trị (ở
trong khoảng hai nghiệm).
HĐ4: Nêu nội dung thay vào ô có dấu
“?” trong bảng sau cho thích hợp.



Trường hợp 𝒂 > 𝟎
Δ

Δ< 0

Δ= 0

Δ> 0

Đồ thị nằm hoàn
toàn phía trên trục
𝑂𝑥

Đồ thị nằm phía trên trục
𝑂𝑥 và tiếp xúc với trục 𝑂𝑥 tại
𝑏
điểm có hoành độ 𝑥 = −

- Đồ thị nằm phía trên trục
𝑂𝑥 khi 𝑥 < 𝑥 1 hoặc 𝑥 > 𝑥 2 .
- Đồ thị nằm phía dưới trục
𝑂𝑥 khi 𝑥 1 < 𝑥 < 𝑥 2 .

Δ< 0

Δ= 0

Δ> 0

?

?

?

Dạng đồ thị

Vị trí của đồ thị
so với trục 𝑂𝑥



2𝑎

Trường hợp 𝒂 < 𝟎
Δ

Dạng đồ thị

Vị trí của đồ thị
so với trục 𝑂𝑥

Trả lời:
Δ

Δ< 0

Δ= 0

Δ> 0

Dạng đồ thị

Vị trí của đồ thị
so với trục 𝑂𝑥

Đồ thị nằm hoàn Đồ thị nằm phía dưới trục 𝑂𝑥 - Đồ thị nằm phía trên trục 𝑂𝑥
toàn phía dưới trục và tiếp xúc với trục 𝑂𝑥 tại khi 𝑥 1 < 𝑥 < 𝑥 2 .
𝑏
- Đồ thị nằm phía dưới trục
𝑂𝑥
điểm có hoành độ 𝑥 = − 2𝑎
𝑂𝑥 khi 𝑥 < 𝑥 1 hoặc 𝑥 > 𝑥 2 .
2

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 với dấu của hệ số 𝑎 trong từng trường hợp của
Δ được phát biểu trong Định lý về dấu tam thức bậc hai sau đây.

Định lý:
Cho tam thức bậc hai (với ).
Nếu thì cùng dấu với hệ số với
mọi
Nếu thì cùng dấu với hệ số với
mọi và
Nếu thì tam thức có hai nghiệm
phân biệt và . Khi đó , cùng dấu
với hệ số với mọi ; trái dấu với hệ
số với mọi
Khi , dấu của và là : “Trong trái
ngoài cùng”

Chú ý. Trong định lí về dấu tam thức
bậc hai có thể thay bởi .
Ví dụ 1. Xét dấu các tam thức bậc
hai sau:
a) b)
c) .
Giải
a) có và nên với mọi

b) có và nên có nghiệm kép và
với mọi
c) Dễ thấy có và có hai nghiệm
phân biệt .
Do đó ta có bảng xét dấu :

Suy ra với mọi và với mọi

Luyện tập 2. Xét dấu các tam thức
bậc hai sau:
a)
b)
c)
Giải
a) có và nên .
b) có nên có nghiệm kép và .

c) có nên ta có bảng xét dấu.

Suy ra và

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

HĐ5. Trở lại tình huống mở
đầu. Với yêu cầu mảnh đất
được rào chắn có diện tính
không nhỏ hơn 48 , hãy viết
bất đẳng thức thể hiện sự so
sánh biểu thức tính diện tích
với .
Từ HĐ5, ta có:
Đây là một bất phương trình
bậc hai.

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
• Bất phương trình bậc hai ẩn là bất
phương trình có dạng (hoặc , , ), trong
đó là những số thực đã cho và .
• Số thực gọi là một nghiệm của bất
phương trình bậc hai , nếu . Tập hợp
gồm tất cả các nghiệm của bất phương
trình bậc hai gọi là tập nghiệm của bất
phương trình này.
• Giải bất phương trình bậc hai là tìm tập
nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng
mà trong đó cùng dấu với hệ số (nếu )
hay trái dấu với hệ số (nếu ).

Nhận xét. Để giải bất phương trình bậc hai (hoặc , , ) ta cần xét
dấu tam thức , từ đó suy ra tập nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các bất phương
trình sau:
a)
b)
c)

Giải
a) Tam thức có hệ số nên luôn dương
(cùng dấu với ) với mọi . Suy ra bất
phương trình vô nghiệm.
b) Tam thức có hệ số nên luôn âm
(cùng dấu với ) với mọi , tức là với mọi .
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy
nhất .

c) Tam thức f(x)=-x2+2x+1 có Δ=2>0 nên f(x) có hai nghiệm x1=1-2 và x2=1+2 .
Mặt khác a=-1<0, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là S=1-2;1+2.

c) Tam thức có nên có hai nghiệm và .
Mặt khác , do đó ta có bảng xét dấu sau:

Tập nghiệm của bất phương trình là .

Ví dụ 3. Giải bất phương trình , từ đó suy ra lời giải cho bài toán rào vườn
ở tình huống mở đầu.
Giải
Tam thức bậc hai có hai nghiệm và hệ số .
Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là đoạn .
Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc
bằng và nhỏ hơn hoặc bằng thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có
diện tích không nhỏ hơn .

Luyện tập 3. Giải các bất
phương trình sau:
a)
b)
c)

Giải
a) Tam thức có
, hệ số
nên luôn âm (cùng dấu với ) với mọi .
Suy ra bất phương có nghiệm với mọi .
b) Tam thức có
, hệ số
nên luôn dương (cùng dấu với ) với mọi ,
tức là với mọi .
c) Tam thức có
, hệ số nên luôn dương (cùng dấu với )
với mọi .
Suy ra bất phương có nghiệm với mọi .

Vận dụng.
Độ cao so với mặt đất của một quả
bóng được ném lên theo phương
thẳng đứng được mô tả bởi hàm số
bậc hai , ở độ cao tính bằng mét
và thời gian tính bằng giây. Trong
khoảng thời điểm nào trong quá
trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ
cao trên so với mặt đất?

Giải
Phương trình chuyển động có dạng
.
Khi vật ở độ cao trên ta có bất
phương trình
.
Vậy khi thì quả bóng sẽ ở độ cao trên
.

Tìm hiểu thêm
Ta có thể dùng máy tính cầm tay
để giải bất phương trình bậc hai.
Sau khi mở máy tính, ta bấm liên
tiếp các phím sau đây:
Mode

1

Ví dụ: Để giải bất phương trình
ta bấm tổ hợp phím
Mod
e

1 1 4 2 =

=

Màn hình máy tính hiển thị:
.

= =

1

Sau đó chọn một trong bốn dạng
bất phương trình bậc hai rồi nhập
Tập nghiệm của bất phương trình là .
các hệ số từ đó nhận được nghiệm.

Bài tập
6.15. Xét dấu các tam thức bậc
hai sau:
a)
b)
c)
d)
6.16. Giải các bất phương trình
bậc hai:
a)
b)
c)
d)
6.17. Tìm các giá trị của tham
số để tam thức bậc hai sau
dương với mọi

6.18. Một vật được ném theo phương
thẳng đứng xuống dưới từ độ cao với vận
tốc ban đầu. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu
giây, vật đó cách mặt đất không quá ?
Giả thiết rằng sức cản của không khí là
không đáng kể.
6.19. Xét đường tròn đường kính và một
điểm di chuyển trên đoạn , đặt (H.6.19).
Xét hai đường tròn đường kính và . Kí
hiệu là diện tích phần hình phẳng nằm
trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình
tròn nhỏ. Xác định các giá trị của để diện
tích không vượt quá một nửa tổng diện
tích hai hình tròn nhỏ.

Giải bài tập
Bài 6.15
a) Dễ thấy có
và có hai
nghiệm phân biệt .
Do đó ta có bảng xét dấu :

b) có và nên có nghiệm kép và với
mọi
c) Dễ thấy có và có hai nghiệm phân
biệt .
Do đó ta có bảng xét dấu :

Suy ra với mọi và với mọi

Suy ra với mọi và với mọi
d) có và nên với mọi

Bài 6.16
a) Dễ thấy có và có hai nghiệm
phân biệt .
Do đó ta có bảng xét dấu :

b) Dễ thấy có và có hai nghiệm
phân biệt .
Do đó ta có bảng xét dấu :

Nên bất phương trình có tập
nghiệm là .

Nên bất phương trình có tập nghiệm
là .

c) Dễ thấy có và có hai nghiệm
phân biệt .
Do đó ta có bảng xét dấu :

Nên bất phương trình có tập
nghiệm là .

d) có và nên với mọi
Từ đó suy ra bất phương trình
có tập nghiệm là .

Bài 6.17.
Đặt có hệ số
Ta có
*) Nếu thì khi với là hai nghiệm của phương trình .
Khi đó không thỏa mãn với mọi .
*) Nếu thì khi , khi đó không thỏa mãn với mọi .
*) Nếu thì với mọi (thỏa mãn đề bài)
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

6.18. Với ta có phương trình chuyển động .
Vật cách mặt đất không quá , tức là .
Sử dụng MTCT ta được .

6.19. Ta có:
 ;
 ;
 ;