PHÒNG GD&ĐT NAM TRỰC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút
(Đề thi gồm 01 trang)



Bài 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức B =

(với x

)
1) Rút gọn biểu thức B.
2) Tìm giá trị của x để B < 0.
3) Tính giá trị của biểu thức B với x thỏa mãn:


Bài 2: (4,0 điểm)
1) Giải phương trình:

2) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3xy – 2y2 = 7

Bài 3: (2,0 điểm)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q =

Bài 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
1) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
2) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.
3) Kẻ

. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh
.

Bài 5: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ và H là trực tâm
1) Tính tổng

2) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM và IN theo thứ tự là phân giác của

và
. Chứng minh : AN.BI.CM = BN.IC.AM

Bài 6: (2,0 điểm)
Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt tấm bìa.

PHÒNG GD&ĐT
NAM TRỰC

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán


Bài
Nội dung chính
Điểm

1
(4,0đ)

1) Với x

thì:




0,5


1,0


0,5


2) Với x

thì B < 0 khi và chỉ khi
(1)
Vì
với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi


Vậy B < 0 khi và chỉ khi x > 1
0,25
0,5

0,25


3) Với
<=> x = -1; x = 9
Tại x = -1 không thỏa mãn điều kiện x


Tại x = 9 thỏa mãn điều kiện x

. Tính được B = - 656
0,5
0,25
0,25

2
(4,0đ)

1)

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của PT. Chia cả hai vế của phương trình cho x2
0, ta được



Đặt
= y thì
= y2 – 2, ta được PT: y2 + 3y + 2 = 0 (*)
Giải (*) được y1= -1 ; y2 = -2
Với y1= -1 ta có
= -1 nên x2 + x + 1 = 0. PT vô nghiệm
Với y1= -2 ta có
= -2 nên
, do đó x = -1
Vậy S=



0,5




0,5


0,5


0,25


0,25


2) Ta có 2x2 + 3xy – 2y2 = 7


Vì x, y nguyên nên 2x-y, x+2y nguyên và là ước của 7
Mà 7 = 1.7 = (-1).(-7) = 7.1 = (-7).(-1)
Ta có bảng sau:
2x-y
1
-1
7
-7

x+2y
7
-7
1
-1

x
1,8(loại)
-1,8(loại)
3
-3

y
2,6(loại)
-2,6(loại)
-1
1

Vậy nghiệm của phương trình là





0,5


0,5


0,75


0,25

3
( 2đ )
Ta có Q =



Ta có

Dấu “=” xảy