ứng dụng hình học
và vật lý của tích phân
Phần 1: diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng
Bài toán 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b ?
Diện tích hình phẳng
y= - f(x)
S
S*
TH1: Nếu f(x) ? 0 trên đoạn [a; b] thì
TH2: Nếu f(x) ? 0 trên đoạn [a; b] thì
S
Diện tích hình phẳng
S1
S2
TH3: Nếu đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ c?(a; b) thì
Tóm lại: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định bằng công thức sau:
TH4: Nếu đồ thị hàm số y=f(x) cắt trục hoành tại nhiều điểm có hoành độ thuộc (a; b) thì
Diện tích hình phẳng
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=-x2+3x+4, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
Giải:
Diện tích hình phẳng
Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x2-4x+3, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2.
Giải:
Diện tích hình phẳng
Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos x, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2?.
Diện tích hình phẳng
Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a; b] ?
S
TH1. Nếu đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) không cắt nhau trên khoảng (a; b) thì f(x)>g(x) ?x?(a;b) hoặc f(x)g(x) ?x?(a;b).
1) Nếu cả f(x) và g(x) đều dương trên [a; b] thì
+k
+k
2) Nếu có ít nhất một trong hai hàm số f(x) và g(x) không dương trên [a; b] thì ta tịnh tiến trục hoành xuống dưới sao cho trong hệ toạ độ mới cả f(x) và g(x) đều dương trên [a; b].
Diện tích hình phẳng
S1
S2
TH2. Nếu đồ thị hai hàm số y=f(x) và y=g(x) cắt nhau tại điểm có hoành độ c trên (a; b) thì:
Tóm lại: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x=a, x=b và đồ thị của hai hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a; b] được tính bởi công thức:
Diện tích hình phẳng
Cách tính diện tích theo công thức
Bước 1: Tìm các nghiệm của phương trình f(x)=g(x) thuộc đoạn [a; b]. Giả sử có tất cả n nghiệm c1;c2 ;..;cn thuộc [a;b] và
a ? c1 < c2 <..< cn ? b.
Bước 2: Ta có
Bước 3: Tính các tích phân và kết luận.
Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng
Diện tích hình phẳng
Bài tập 1, 2, 3 (SGK)