1
§ 3
ĐƯỜNG ELIP
2
Quan sát hình sau
3
Quan sát hình sau:
Hành tinh
Mặt trời
F1
F2
Các hành tinh chuyển động xung quanh mặt trời theo quỹ đạo là hình elip
4
Đấu trường Colisee ở Rôma (Italia)
Khởi công vào năm 72 sau công nguyên
Mặt bằng của công trình có dạng hình elip
5
1. Định nghĩa elip
Cách vẽ elip:
?
Khi M thay đổi , em có nhận xét gì về:
+ Chu vi tam giác MF1F2
+ Tổng MF1 + MF2
Chu vi tam giác MF1F2 luôn bằng chiều dài sợi dây nên không đổi.
Do F1 F2 cố định nên tổng MF1 + MF2 cũng không đổi
6
Định nghĩa:
Cho hai điểm cố định F1 và F2 , với F1F2 = 2c (c > 0).
Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1 + MF2 = 2a, trong đó a là số cho trước lớn hơn c.
Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip.
7
mà
MF1 và MF2 được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M
2. Phương trình chính tắc của elip
1. Tìm tọa độ F1, F2
2. Chứng minh:
?
F 1(-c; 0)
F 2(c; 0)
1.
2.
Ta có:
Do đó
Cho elip (E) như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm F1F2. Trục Oy là đường trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox
F1F2 = 2c
MF1 + MF2 = 2a
8
* Lập phương trình của elip
Ta có:
hay
Rút gọn ta được:
MF1=
Hay
Vì
a2 – c2 > 0
nên ta đặt
a2 – c2 = b2 (b>0)
Vậy
(a > b > 0)
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip
9
F1
F2
Phương trình
a > b > 0
?
với
có phải là phương trình của elip không?
là phương trình của elip
Tuy nhiên đây không phải là phương trình chính tắc của elip.
-b
b
-a
a
10
Theo giả thiết:
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
Ví dụ: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
Phương trình chính tắc của (E)
với a > b > 0
11
Phương trình chính tắc của (E)
với a > b > 0
Theo giả thiết
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là
12
M2 (xo,-yo)
M3 (-xo,-yo)
Cho điểm M(xo,yo) thuộc elip. Trong các điểm sau điểm nào thuộc elip?
3. Hình dạng của elip
a) Tính đối xứng của elip
M1 (-xo,yo)
M(xo,yo)
M1(-xo,yo)
M2(xo,-yo)
M3(-xo,-yo)
Thay tọa độ M1 vào vế trái của (1), ta được:
Vì M(xo,yo) thuộc elip nên:
Vậy M1 nằm trên elip
Tương tự M2, M3 cũng nằm trên elip
13
0
Em có nhận xét gì về tính đối xứng của elip?
Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
x
y
14
b) Hình chữ nhật cơ sở
A2
A1
B2
B1
-a
a
-b
b
Gọi (E) là elip có phương trình (1). Tìm tọa độ các giao điểm của (E) với các trục tọa độ?
Khi đó ta gọi
A1, A2, B1, B2: 4 đỉnh của elip
Ox: trục lớn
Oy: trục bé (hay trục nhỏ)
Ta cũng gọi:
A1A2: trục lớn
B1B2: trục bé
Và
A1A2=2a
B1B2=2b
Với A1(-a; 0), A2(a; 0)
Với B1(0; -b), B2(0; b)
15
S
R
Q
P
Vẽ qua A1, A2 hai đường thẳng // Oy
Vẽ qua B1, B2 hai đường thẳng // Ox
Bốn đường thẳng tạo thành hình chữ nhật PQRS
Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip
16
Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhật cơ sở của nó. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
Min y = -b
Max y = b
Min x = -a
M
y
x
Tìm:
Max x = ?
Max y = ?
Min y = ?
Min x = ?
Ta có:
Hay
Vậy
Max x = a
17
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip.
Kí hiệu:
e
Vậy
Nhận xét:
+ 0 < e < 1
+
c. Tâm sai của elip
18
Nếu e càng bé (càng gần 0) thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó đường elip càng “béo”.
Nếu e càng lớn (càng gần 1) thì tỉ số càng gần tới 0 và hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, do đó đường elip càng “gầy”.
0 < e < 1
19
Ví dụ
24 m
o
y
x
?
Tính chiều cao của hầm
20
d. Elip và phép co đường tròn
* Phép co về trục hoành
M(x,y)
Trong mp tọa độ Oxy, cho điểm M(x, y)
Cho một số k với 0 < k < 1
Khi đó ta xác định được một điểm M’(x’,y’) với x’ = x ; y’ = ky
M’(x’,y’)
Phép biến đổi trên được gọi là phép co về trục hoành với hệ số co là k (0 < k < 1)
21
Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 =a2 và một số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x;y) trên (C), lấy điểm M’(x’;y’) sao cho x’ = x và y’ = ky. Tìm tập hợp các điểm M’.
Theo giả thiết:
tức là
Đặt b=ka, ta được phương trình
Vậy tập hợp các điểm M’ là elip (E) có phương trình chính tắc:
22
Ta nói:
Phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành elip (E)
(E)
(C)
x
y
Ví dụ:
Phép co về trục hoành theo hệ số k = biến đường tròn (C) thành elip (E)
23
Như vậy, đường tròn là một elip đặc biệt
Giả sử có đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 =0. Hãy xác định:
Tiêu cự?
Tâm sai?
Độ dài trục lớn?
Độ dài trục bé?
Tiêu điểm?
Độ dài trục lớn: A1A2 = 2a
Độ dài trục bé: B1B2 = 2a
Tiêu cự = 0
Tiêu điểm: O(0,0)
Tâm sai: e = 0