1. Định nghĩa đường elip
BÀI 5:







Định nghĩa
M
Cho hai di?m c? d?nh F1 v� F2 v?i F1F2 = 2c(c>0) .
Du?ng elip (cịn g?i l� elip) l� t?p h?p c�c di?m M sao cho MF1 + MF2 =2a, trong dĩ a l� s? cho tru?c l?p hon c.
Hai di?m F1 v� F2 g?i l� c�c ti�u di?m c?a elip. Kho?ng c�ch 2c du?c g?i l� ti�u c? c?a elip.
2. Phương trình chính tắc của elip
M
M
Câu hỏi: Trong cách vẽ đường elip ở trên, gọi vị trí đầu bút trì là M.Khi M thay đổi,có nhận xét gì về chu vi của tam giác MF1F2 và tổng khoảng cách
MF1 + MF2?
2.Phương trình chính tắc của elíp
M
Cho hai điểm F1 và F2, F1F2 = 2c(c>0)
(E) = {M: MF1 + MF2 = 2a, a>c}, Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm của elip, F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.
Cho (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ OXY có góc là trung điểm của đoạn thẳng F1F2, Trục oy là đường trung trực của F1F2 và F1, F2 nằm trên tia ox.
Câu hỏi: Với cách trọn hệ trục toạ độ như vậy hãy cho biết toạ độ của hai tiêu điểm F1 và F2.
(X,Y)
Giả sử điểm M(x,y) nằm trên (E).
Hảy tính: MF12 – MF22 =
((x+c)2 + y2) – ((x-c)2 + y) = 4cx
=> (MF1- MF2)(MF1+MF2) = 4cx
=> (MF1- MF2) 2a = 4cx
<=> MF1- MF2 =
=> MF1= , MF2 =
Các đoạn MF1 và MF2 được gọi là bán kính qua tiêu.
1. Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
2. Phương trình chính tắc của elip
M
MF1= ; MF2 =

Các đoạn MF1 và MF2 được gọi
là bán kính qua tiêu.
(X,Y)
Ta có:
Bình phương hai vế và rút gọn biểu thức ta được:
Vì a2 – c2 > 0 nên ta đặt a2 – c2 = b2 (b>0) và được:
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho.
Chú ý:
Ví dụ1
Chú ý: Chỉ có phương trình: (a>b)

mới được gọi là phương trình chính tắc của elip. Ngoài ra ta thường quy ước đặt tiêu điểm F1 nằm bên trái trục tung.

Như vậy phương trình: (a
cố nhiên cũng là phương trình của elip (với tiêu điểm nằm trên oy) nhưng không gọi là phương trình chính tắc của elip.



M
(X,Y)
Phương trình chính tắc của elip
VD1: Cho ba điểm , và
Viết phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1, F2 và đi qua N.
Bài giải:
(E) Có phương trình chính tắc:
Vì N(0,3) thuộc (E) =>
=> b2 = 9
Theo giả thiết ta có:
Vậy (E) cần tìm có phương trình chính tắc là:
1. Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
2. Phương trình chính tắc của elip
M1
Ví dụ1
Ví dụ2
3.Hình dạng của elip
M2
M4
M3
Cho elip có phương trình (1) và một điểm M1(xo,yo) nằm trên (E). Hỏi các điểm M2(xo,-yo),M3(-xo,-yo) và M4(-xo,yo).
Vì M1(xo,yo) thuộc (E) nên:
a)Tính đối xứng của elíp
Xét:
Tương tự các điểm M3(-xo,-yo),M4(-xo,yo) thuộc (E) ở trên.
Vậy: Elíp có phương trình (1) nhận các trục toạ độ làm trục đối xứng và góc toạ độ làm tâm đối xứng.
Phương trình chính tắc của (E) có dạng:


Phương trình chính tắc của elip
VD2: Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua hai điểm P(0;1) và Q(1; ). Xác định toạ độ các tiêu điểm của (E) đó.


Bài giải:
Vì (E) đi qua P(0,1) nên:
Vì (E) đi qua Q (1 , ) nên:
Vậy PT.Chính tắc của (E) là:
1. Định nghĩa đường elip
BÀI 5:
2. Phương trình chính tắc của elip
3.Hình dạng của elip
a)Tính đối xứng của elíp
b)Hình chử nhật cơ sở
Bốn điểm A1,A2,B1 và B2 gọi là các đỉnh của (E).
A1A2=2a gọi là độ dài trục lớn.
B1B2 = 2b gọi là độ dài trục bé.

Hình chữ nhật PQRS được gọi là hình chữ nhật cở sở
của elip.
c) Tâm sai của elip
d) Elip và phép co
Nếu xét điểm M(x,y) nằm trên elip thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x là bao nhiêu? giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y là bao nhiêu?
Trả lời:
+Giá trị nhỏ nhất của x là -a và lớn nhất của x là a.
+Giá trị nhỏ nhất của y là –b và lớn nhất của y là b.
Mọi điểm của elip nếu không phải là đỉnh điều nằm trong hình chữ nhật cơ sở. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.
Tỉ số giửa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được kí hiệu là e, tức là

c) Tâm sai của elip
Với 0d) Elip và phép co đường tròn
Bài toán: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 = a2 và một số k (0
Bài giải:
Từ x’ = x, y’ = ky => x = x’, y = y’/k. Điểm M(x,y) thuộc (C) <=> x2 + y2 = a2 hay
Vậy tập hợp các điểm M’ là một (E) có phương trình chính tắc:
Người ta nói: Phép co trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành (E).
Hình 1. Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/2 biến đường tròn (C) thành (E)
Hình 2. Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/4 biến đường tròn (C) thành (E)
Hình 1. Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/2 biến đường tròn (C) thành (E)
Hình 2. Phép co về trục hoành theo hệ số k=1/4 biến đường tròn (C) thành (E)
Câu hỏi: Trong cách vẽ đường elip ở trên, gọi vị trí đầu bút trì là M.Khi M thay đổi,có nhận xét gì về chu vi của tam giác MF1F2 và tổng khoảng cách MF1 + MF2?