Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Qua A kẻ đường thẳng d cắt BC tại M. P là một điểm bất kỳ thuộc SD. Xác định giao điểm của đường thẳng d với mp(SDC)? Xác định thiết diện của mp(P,d) với hình chóp?
HD:Trong mp(ABCD) kẻ AM cắt DC tại E.
Vậy E là giao điểm của đường thẳng d và mp(SCD)
Mặt khác
Giao tuyến của mp(P,d) với mp(SAD) làAP, với mp(ABCD) là AM, với mp(SBC) là MN.
Vậy thiết diện là tứ giác PAMN
Trong mp(SCD) kẻ PE cắt SC tại N. PE là giao tuyến của (P,d) và mp(SCD)
Bài 3(tr60sgk)
Cho tứ diện ABCD có M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, G là trung điểm của MN.
a/ Xác định giao điểm A’ của AG với mp(BCD)?
b/ Chứng minh rằng GA:GA’=3:1
HD: a/ Trong mp(ABN) kéo dài AG cắt BN tại A’.
Mặt khác
nên A’ là giao điểm của AG và mp(BCD)
Trong ΔANB kẻ MI//AA’.
Xét ΔABA’ có:
Xét ΔNMI có:
Suy ra:
Vậy: GA’: GA= 3:1
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
- Đt a và
không có điểm chung
- Đt a và
có một điểm chung:
- Đt a và
có vô số điểm chung:
II. TÍNH CHẤT
Định lý1
Nếu một đường thẳng a không nằm trong mp(P) và song song với một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) thì đt a// mp(P)
CM tóm tắt : Nếu đt a không song song với mp(P) thì suy ra a cắt mp(P) tại M nằm trên b.suy ra điều vô lý .Vậy a//mp(P)
HĐ 1: Chỉ ra các đường thẳng song song với một mp trong phòng học
HĐ 2: cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AB//mp(SCD)
Giải: Vì mp(SCD) chứa CD//AB nên AB // mp(SCD).
HĐ3: Cho tứ diện ABCD có M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC,AD. Các đoạn thẳng MN,NP,PM có song song với mp(BCD) không?
HD: Chứng minh MN,NP,PM lần lượt song song với các đường thẳng BC,CD,DB nằm trong mp(BCD) từ đó suy ra chúng song song với mp(BCD)
Định lý 2
Ví dụ : Cho hình tứ diện ABCD . M là một điểm trong miền tam giác BCD. Gọi (α) là mp đi qua M và song song với AB và CD. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mp(α) và hình tứ diện.
Cho đường thẳng a//mp(α). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt mp(α) theo giao tuyến b thì a//b.
Tóm tắt ví dụ : M là một điểm trong miền tam giác BCD. Gọi (α) là mp đi qua M và song song với AB và CD. Dựng thiết diện của hình chóp tạo bởi mp(α) và hình tứ diện.
HD: Dễ thấy mp(α) và mp(BCD) có điểm M chung.
Mặt khác mp(BCD) chứa đt CD// mp(α) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đi qua M và //CD.
Bằng cách tương tự ta có giao tuyến của mp(α) với mp(ABC) đi qua E và //AB, Giao tuyến với mp(ACD) đi qua F và //CD. Vậy EFKL là thiết diện cần dựng.
Hệ quả: Nếu hai mp cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu có ) sẽ song song với đt đã cho .
Cm:Lấy M thuộc đt b. mp(M,b) cắt mp(P) theo giao tuyến x//b , mp(M,b) cắt mp(P) theo giao tuyến y//b. Suy ra x,y cùng đi qua M và song song với b nên chúng trùng b
a
b
M
Bài 3(tr58sgk): Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD. G là trung điểm của MN. Xác định giao điểm A` của AG và mp(BCD). Chứng tỏ rằng GA:GA`=3:1
HD:Trong mp(ABN) kẻ AG cắt BN tại A`. Chứng minh A` là giao điểm của AG và mp(BCD).
Trong ∆ABA kẻ MI//AA`.
Trong ∆MIN có:
Vậy:
Định lý 3
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Khi đó có một mp duy nhất chứa a và song song với b.
Chứng minh:
-Tồn tại
-Duy nhất: Giả sử có một mp(β) khác cũng đi qua a và //b. Khi đó mp(α) và mp(β) cắt nhau theo giao tuyến a mà a//b.Trái gt.
HĐ4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và một điểm M không thuộc vào hai đường thẳng trên. CMR có duy nhất một mp(P) đi qua M và song song với a,b.
HD: Qua M kẻ c//a, d//b. Mp(c.d) đi qua M và //a,b.
Nếu có một mp(R) khác cũng đi qua M và //a,b thì nó cắt mp(c,d) theo giao tuyến vừa //a, vừa //b suy ra a//b: vô lý.