1
Bài 6 ĐƯỜNG TRÒN
I/ Phương trình đường tròn
+ Trong mặt phẳng, cho đường tròn ( C ) có tâm I(a;b),
có bán kính R .
M(x;y) (C) khi và chỉ khi : IM = R
(x - a)2 + (y - b)2 = R2
Từ đó ta có PT của đường tròn tâm I(a;b) , bán kính
R là : (x - a)2 + (y - b)2 = R2
+ Ngược lại PT : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 = a2 + b2 - c
(x - a)2 + (y - b)2 = a2 + b2 - c
Khi a2 + b2 - c > 0 đây là PT của đường tròn tâm
I(a;b) , bán kính R =
2
+ Như vậy PT của đường tròn còn có dạng :
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với a2 + b2 - c > 0
II/ Ví dụ :
1. Viết PT đường tròn biết :
a) Đường tròn có đường kính AB , với A(-5;1) , B(3; - 7) .
b) Đường tròn có tâm I( 3 ; - 5 ) và tiếp xúc với đường
thẳng (d) : 4x - 3y - 2 = 0
c) Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1).
Giải
+ Tâm I là trung điểm của AB : I(-1;-3)

+ Bán kính R =
Vậy PT của đường tròn là :
(x + 1)2 + (y + 3)2 = 32
3
+ Tâm I (3;- 5)
+ Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng (d) :
4x - 3y - 2 = 0
Vậy PT đường tròn là : (x - 3)2 + (y + 5)2 = 25
c) + PT đường tròn có dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
+ Đường tròn đi qua 3 điểm A(-3;1) , B(3; 0) ,C(0;-1).
Vậy PT đuờng tròn là :
4
2. Cho đường cong (C) có PT :
x2 + y2 + 2(m - 1)x - 6my + 9m2 + 4 = 0
Tìm m để (C) là một đường tròn , xác định tâm và
bán kính của (C)
Giải
Ta có : a = m - 1 ; b = - 3m ; c = 9m2 + 4
(C) Là đường tròn khi : a2 + b2 - c > 0
(m - 1)2 + 9m2 - 9m2 - 4 > 0
m2 - 2m - 3 > 0
m < - 1 ; m > 3
Vậy với m < - 1 hoặc m > 3 thì (C) là một đường tròn
có tâm I(- m + 1 ; 3m ) và bán kính
5
3. Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau :
a) x2 + y2 - x + 3y - 4 = 0
b) - x2 - y2 + 4x - 6y + 5 = 0
c) 2x2 + 2y2 - 3x - y - 1 = 0
Giải
Vậy tâm
b) - x2 - y2 + 4x - 6y + 5 = 0
x2 + y2 - 4x + 6y - 5 = 0
a = - 2 ; b = 3 ; c = - 5
Ta có :
Vậy tâm
2x2 + 2y2 - 3x - y - 1 = 0
x2 + y2 - 3/2 x - 1/2 y - 1/2 = 0
6
Ta có :
Vậy tâm
III/ Phương tích của một điểm đối với một đường tròn .
Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
và điểm M(x0;y0) .
P (M/(C)) = IM2 - R2
= (x0 + a)2 + (y + b)2 - a2 - b2 + c
+ (C) có tâm I(-a;-b) , bán kính R =
+ ta có :
= x02 + y02 + 2ax + 2by + c
IV/ Trục đẳng phương của hai đường tròn .
P (M/(C))
= x02 + y02 + 2ax + 2by + c
Vậy
7
Cho hai đường tròn không đồng tâm :
(C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0
(C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0
M(x;y) thuộc trục đẳng phương khi và chỉ khi :
P (M/(C1))
= P (M/(C2))
x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2
2a1x + 2b1y + c1 - 2a2x - 2b2y - c2 = 0
2(a1 - a2)x + 2(b1 - b2) y + c1 - c2 = 0 (1)
Vì a1 - a2 và b1 - b2 không đồng thời bằng 0 nên (1)
là phương trình của đường thẳng .
Như vậy PT của trục đẳng phương là :
2(a1 - a2)x + 2(b1 - b2) y + c1 - c2 = 0
8
Bài 1: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau:
a) x2 + y2 - 2x- 2y- 2 = 0
b) 16x2 +16y2 +16x -8y = 11.
c) .
GIẢI
x2 + y2 -2x -2y -2 = 0 .
Ta có: -2a = -2 a = 1.
-2b =-2 b = 1.
c = -2.
Vậy tâm của đường tròn là I(1;1).
Bán kính đường tròn là R =

BÀI TẬP
9
b)16x2 + 16y2 + 16x - 8y = 11.
x2 + y2 + x - .

ta có : -2a = -1 .
-2b = . .

Vậy tâm của đườnh tròn là T ( ).
Bán kính của đường tròn là : R = .
c) .

.

.
Vậy tâm của đường tròn I(5;-3) .
Bán kính của đường tròn : R = = 4.
10
Baøi 2 Vieát pt ñöôøng troøn bieát:
a) Qua A(1;2) vaø coù taâm I(-3;1)
b) Qua ba ñieåm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2)
c) Taâm I(1;2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng d :x+2y-3 =0
d) Qua A(1;2);B(3;1), coù taâm naèm treân ñöôøng thaúng :7x+2y-3=0
GIAÛI
a)Vieát pt ñ troøn qua A(1;2) vaø coù taâm I(-3;1).
Vì ñöôøng troøn taâm I(-3;1) vaø qua A(1;2) neân coù baùn kính
R = IA =
Pt ñöôøng troøn taân I(-3;1) coù baùn kính R= laø:
(x+3)2 +(y-1)2 = 17
b) Vieát pt ñtroøn qua 3 ñieåm A(1;2), B(-3;0), C(3;-2)
Caùch 1 Goïi ñ troøn ( C) : x2 +y2 -2ax -2by +c = 0
Vì ( C) qua 3 ñieåm A(1;2) ,B(-3;0) , C(3 ;-2) neân
11
1+4 -2a -4b +c =0
9 +6a +c =0
9 +4 -6a +4b +c =0
Vaäy ( C) : x2 +y2 +2x -9 =0
C2) Goïi taâm ñ troøn I(a;b) .Vì ñ troøn ñi qua A,B,C neân
IA = IB IA2 = IB2
IA = IC IA2 = IC2
(1-a)2 + (2-b)2 = (-3-a)2 + b2
(1-a)2 + ( 2-b)2 = (3-a)2+( -2-b)2
2a +b = -1 a=0
a-2b = 2 b=-1
Vaäy taâm I(0;-1) , baùn kính R = IA =
do ñoù ptñt : (x-0)2 + ( y + 1 )2 = 10

12
c) Viết pt đ tròn tâm I ( 6; 1) và t. xúc với đường thẳng d: x+2y-3=0
Vì đường tròn tâm I(6;1) tiếp xúc với d: x+2y-3 = 0 nên
R= d(I`d) =
Ta có IA = IB
I ( )
IA2 = IB2
I(a,b) : 7x-2y-2 = 0
(1-a)2 + (2-b)2 = (3-a)2 + (1-b)2
7a -2b -2 = 0
4a -2b - 2 = 5 a = -1
7a -2b = 2 b = -9/2
Vậy tâm I(-1;-9/2) , bán kính R = IA =

Do đó pt đ tròn
13
Bài 3 : Cho đường tròn ( C) : x2 + y2 -4x +8y -5 =0 và 2 điểm A ( -1;0), B(3;-11)
a) Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn
b) tính , . Suy ra vị trí tương đối của A và B đối với (C)
c) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm A(-1;0)
d) Viết pttt của đường tròn đi qua điểm B(3;-11)
e) Viết pttt của đường tròn biết t.tuyến song song với d: 2x-y = 0
GIẢI
a)Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn:
( C) x2 + y2 - 4x+8y - 5 =0
Tâm đường tròn : I (2;-4)
Bán kính đường tròn : R = = =5
b) = 1 + 4 - 5 = 0 A( -1;0) ( C)
= 9 + 121 - 12 - 88 - 5 = 25 > 0
nên B nằm ngoài đường tròn
14
c)Vieát pttt cuûa ñöôøng troøn ( C) ñi qua A( -1;0)
Vì A(-1;0) ( C) neân
Pttt cuûa ( C) qua A(-1;0) coù VTPT = (3;-4) laø
3(x+1) -4( y-0) = 0 3x -4y +3 = 0
d) Vieát pttt cuû ( C) qua B (3;-11)
Vì B(3;-11) naèm ngoaøi ñ. troøn neân ñöông thaúng qua B coù daïng:
A(x-3) + B ( y+11 ) = 0 Ax + By -3A +11 B = 0
Do tieáp xuùc vôùi ( C)
d(I; ) = R = 5

=5 A2 -14AB + 49 B2 = 25A2 + 25B2
24A2 + 14 AB - 24 B2 = 0
Choïn B = 1 : 24 A2 +14A -24 = 0 A =
Vaäy
15
3x+4y +35 = 0


Bài 4 Gọi ( ) là đường có pt :
x2 + y2 - 2(m+2) x + 4my +19m -6 = 0
a) tìm m để( ) là đường tròn.
b)Tìm m để ( ) là đường tròn có bán kính bằng 10.
c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn ( )
GIẢI
a) ( ) :x2 + y2 - 2(m+2 )x + 4my+ 19m - 6 = 0
Ta có :-2a = - 2(m+2) a = m+2
-2b = 4m b = -2m ; c = 19m -6
( ) là đường tròn a2 + b2 -c2 > 0
(m+2)2 +4m2 -19m +6 > 0 5m2 -15m +10 > 0 m< 1 v m>2
Vậy m<1 v m>2 thì ( ) là đường tròn

16
b)Tìm m ñeå ( ) laø ñöôøng troøn coù baùn kính baèng 10:
Khi m<1 v m> 2 thì ( ) laø ñöôøng troøn coù baùn kính

Ñeå ( ) coù baùn kính baèng 10
R = 10 = 10
5m2 -15m + 10 = 100
m2 – 3m -18 = 0
m = 6 v m = - 3
Vaäy m = 6 v m = - 3 thì ( ) coù baùn kính R = 10.
c) Tìm taäp hôïp taâm caùc ñöôøng troøn ( ).
Vôùi m <1 v m>2 thì ( ) laø ñöôøng troøn taâm I (m+2;-2m)


Do

17

Vậy tập hợp các tâm đường tròn là phần đường thẳng
2x + y - 4 = 0
x < 3 v x > 4




- - - @ - - - @ - - - @ - - - @
HẾT
- - - @ - - - @ - - - @ - - - @