§4
I
M
R
Đường tròn tâm I bán kính R là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng, cách đều điểm I một khoảng không đổi R.
Định nghĩa đường tròn
1. Phương trình đường tròn
Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R. Tìm điều kiện cần và đủ của x, y để M(x;y) thuộc đường tròn (C)?
Giải
Phương trình (1) được gọi là phương trình của đường tròn (C).
Thảo luận nhóm trong 2 phút
I
x
y
o
M(x,y)
b
a
x
y
R
x2 + y2 = R2
Tâm và bán kính của đường tròn
Ví dụ 1: Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3)
Hãy viết phương trình đường tròn tâm P và đi qua Q.
Hãy viết phương trình đường tròn đường kính PQ
Giải
a.
Phương trình đường tròn là
b.
Phương trình đường tròn là
Giải:
Phương trình đường tròn là:
(x-6)2 + (y-1)2 = 5
2. Nhận dạng phương trình đường tròn
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)
Hệ số của x2, y2 bằng nhau và bằng 1.
Không tồn tại đơn thức chứa tích x.y
Là phương trình bậc hai của x, y
2. Nhận dạng phương trình đường tròn
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (2)
Quan sát phương trình (2) các em có nhận xét gì?
Đặt vấn đề: Có phải mọi phương trình dạng (2) đều là phương trình đường tròn không?
Giải quyết vấn đề:
Để (2) là phương trình đường tròn thì
2. Nhận dạng phương trình đường tròn
Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn thì xác định tâm và bán kính?
Không phải
Vì a=1, b=3, c=103, a2+b2-c = 1+9-103 < 0
Phải
Phải
Tâm I(3;-1), bán kính R=2
Không phải
Không phải
x2 + y2 + 8x - 6y = 0
Tâm I(-4;3), bán kính R=5
c, x2 +
2y2
2xy
2y2
- 2x +5y +2 = 0
2xy
Bài toán 1: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm P(1;3), M(-3;3), N(-3;-1).
Giải:
Giả sử phương trình đường tròn có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
Do P, M, N thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ trên ta được: a = -1, b = 1, c = -6
Phương trình đường tròn cần tìm là:
x2 + y2 + 2x -2y -6 = 0
Bài toán 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1;2), B(3;0)và có tâm nằm trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0.
Thảo luận nhóm trong 5 phút
Giải:
Giả sử phương trình đường tròn có dạng:
x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0
Do tâm I thuộc (d) và A, B thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ trên ta được: a = 1, b = 1, c = 3
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
x2 + y2 - 2x - 2y + 3 = 0
Củng cố:
1, Phương trình đường tròn tâm I(a;b), bán kính R có dạng:
(x –a)2 + (y – b)2 = R2