Tiết 34

đường tròn
Mục tiêu
- Học sinh viết được phương trình đường tròn trong một số trường hợp đơn giản.
- Xác định được tâm và bán kính của đường tròn có dạng (x-x0)2 + (y-y0)2 = R2
- Biết được khi nào phương trình
x2 + y2 + 2ax + 2by + c =0 là phương trình đường tròn và chỉ ra được tâm và bán kính của đường tròn đó
Câu hỏi 1: Em hãy nêu định nghĩa đường tròn mà em đã biết.
Đường tròn là tập hợp những điểm M trong mặt phẳng luôn cách một điểm cố định I một khoảng không đổi R
















I
















x0
y0
y
x
O
I(X0 ;Y0 )
R
M(x;y)
x
y
Câu hỏi 3: Trong mặt phẳng Oxy. Hãy tìm điều kiện để điểm M(x;y) thuộc đường tròn tâm I(x0;y0) bán kính R
Do M cách I(x0;y0) một khoảng R
Nên ta có IM = R hay IM2 = R2
hay (x-x0)2 + (y-y0)2 = R2
1 . Phương trình đường tròn

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Phương trình đường tròn tâm I(x0;y0) bán kính R là
(x-x0)2 + (y-y0)2 = R2 (1)
Ví dụ 1 : Phương trình của đường tròn tâm I(1; 2) và bán kính R = 3 là (x-1)2 + (y - 2)2 = 32
Có nhận xét gì về hệ số của x và y trong phương trình (1)
Trong phương trình (1), phương trình của đường tròn ta thấy hệ số của x và y bằng nhau.
Như vậy: Trong mặt phẳng Oxy phương trình của đường tròn được xác định khi biết tọa độ tâm và độ dài của bán kính
áp dụng:
Bài 1: Các phương trình sau có phải là phương trình của đường tròn không? Nếu là phương trình của đường tròn thì chỉ ra tâm và bán kính của đường tròn đó
1) (x-2)2 + (y - 1)2 = 32
Là phương trình đường tròn có tâm I(2;1) bán kính R =3
2) x2+y2=1
Là phương trình đường tròn tâm 0(0;0) và bán kính R =1
3) (x-0,5 )2 + (y+5)2 = 6
Là phương trình đường tròn tâm I( 0,5 ;-5) bán kính R =
4) (x-1)2+(2y-3)2 = 4
Không là phương trình đường tròn vì hệ số của x và y không bằng nhau
5) (2x+1)2 + (2y-5)2 = 9




Bài 2 Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3).
a) Hãy viết phương trình của đường tròn tâm P và đi qua Q.
b) Hãy viết phương trình của đường tròn đường kính PQ
Trong mặt phẳng Oxy, muốn viết được phương trình của đường tròn phải biết được những yếu tố nào?
Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy, muốn viết được phương trình của đường tròn phải biết được tọa độ của tâm và độ dài của bán kính
2) Nhận dạng phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
Phương trình đường tròn tâm I(-a;-b) bán kính R là
(x+a)2 + (y+b)2 = R2
Mọi phương trình có dạng x2 + y2 + 2ax+2by + c = 0 (2)
với điều kiện a2 + b2 > c đều là phương trình của đường tròn có tâm là
Ví dụ:
phương trình của đường tròn có tâm là I(-1; -2) và bán kính là R=3 là
x2 + y2 + 2x + 4y - 4 = 0




Có nhận xét gì về hệ số của x2 và y2 trong phương trình (2)

Hệ số của x2 và y2 bằng nhau
I(-a; -b) và bán kính là R=
Bài 3:
Các phương trình sau có phải là phương trình của đường tròn không? Nếu là phương trình của đường tròn thì chỉ ra tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó
1) x2 + y2+ 2x + 4y + 4 =0
Là phương trình đường tròn tâm I(-1;-2) và bán kính R=1
2) x2 + y2- 2x -4y - 6 =0
Không là phương trình đường tròn vì a2 + b2 - c < 0
3) 2x2 + 2y2+ 8x - 4y - 22 = 0
Là phương trình đường tròn tâm I(-2;1) và R = 4
4) 2x2 + 3y2+ 7x - y - 22 = 0
Không là phương trình của đường tròn vì hệ số của x2 và y2 không bằng nhau
Trường hợp đặc biệt

a- Đường tròn đi qua gốc toạ độ
có phương trình là
x2+y2 +2Ax+2By=0
b -Đường tròn tiếp xúc với trục hoành có phương trình là
x2+y2+2Ax+2By+A2=0
O
a
b
x
y
(a;b)
c- Đường tròn tiếp xúc với trục tung





Có phương trình là
x2+y2+2Ax+2By+B2=0
y
O
Bài tập luyện tập
Bài 1: Lập phương trìmh đường tròn đi qua 3 điểm M(2;0), N(0;1), P(-1;2).
Giải: Gọi I(a;b) là tâm và R là bán kính của đường tròn cần tìm. Phương trình đường tròn có dạng (x-a)2+ (y-b)2 =R2 (1)
Do M, N, P thuộc đường tròn nên toạ độ của chúng đồng thời thoả mãn phương trình (1).
Ta có hệ phương trình
Thay vào (*) ta có R
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là


Cách 2: giả sử I(-A;-B) là tâm đường tròn và phương trình đường tròn có dạng
x2 + y2+ 2Ax + 2By +C = 0(**)
Do M, N, P thuộc đường tròn nên toạ độ của chúng lần lượt thoả mãn (**)
Ta có hệ phương trình:



Giải hệ phương trình trên ta được


Vậy đường tròn cần tìm có phương trình là:
x2 + y2 - 7x - 11y + 10 = 0
Bài 2:Viết phương trình đường tròn có đường kính AB. Biết A(1;2) và B(3;4).
Giải Cách 1
Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn cần tìm.
Do AB là đường kính nên I là trung điểm của AB
I(2;3) và R = IA=
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là :
(x-2)2+ (y-3)2 = 2 hay x2+y2- 4x - 4y - 9 = 0
Hướng dẫn giải cách 2
Do AB là đường kính nên điểm M(x;y) thuộc đường tròn
Mà

Nên (1) (x-1)(x-3)+(y-2)(y-4)=0
x2 + y2 - 4x - 6y + 11 = 0
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
x2+ y2- 4x - 6y + 11 = 0
Qua bài này các em cần nắm vững:
Phương trình của đường tròn ở cả 2 dạng.
Xác định được tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó.
Lập được phương trình của đường tròn biết 3 điểm mà nó đi qua hoặc biết đường kính của đường tròn đó.
Viết được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình của đường tròn
Bài tập về nhà: Làm câu hỏi trang 92
Làm bài 21, 23, 24 Sgk trang 95