Những hình ảnh về đường Elip trong khoa học và đời sống
ELIP
Đường
Bài 5 :
I . CÁC ĐỊNH NGHĨA
Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0)
Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho F1M + F2M = 2a
Trong đó a là hằng số cho trước lớn hơn c



Hai điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip.
Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.

Tỉ số gọi là tâm sai của elip.
M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )
2c
?
II . Phương trình chính tắc của elip
( x ; y )
Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc O là trung điểm của F1F2, trục Oy là trung trực của F1F2 như hình vẽ.
Khi đó ta có tọa độ F1 , F2 là
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 , F2 . Tiêu cự F1F2 = 2c như hình vẽ.
M  (E)  F1M + F2M = 2a
với a > c > 0
F1 ( - c ; 0)
F2 ( c ; 0)
và
x
y
F1
F2
O
-c
c
?
?
M
( x ; y )
(E)
�
Ta có
�
M(x ; y)  (E)  F1M + F2M = 2a (1)
F1 ( - c ; 0)
F2 ( c ; 0)
F1M2 =
( x + c )2 + y2
F2M2 =
( x - c )2 + y2
 F1M2 - F2 M2 =
và F1M2 + F2 M2 =
4cx (*)
2x2 + 2y2 + 2c2 (**)
(*)  F1M - F2M =
(1) và (2)  F1M =
và F2M =
(3)
Các đoạn thẳng F1M và F2M được gọi là các bán kính qua tiêu của điểm M
Độ lớn các bán kính qua tiêu của điểm M được tính theo công thức (3)
Thay (3) vào (**) và rút gọn ta thu được phương trình :
(a2 - c2)x2 + a2y2 = a2(a2 - c2) (4)
Vì a > c > 0 nên a2 > c2. Đặt b2 = a2 - c2 (b > 0), ta có
(5)
là phương trình chính tắc của elip đã cho.
Ta gọi phương trình :
GHI NHỚ
Định nghĩa : M  (E )  F1M + F2M = 2a , (a > c > 0 )
Trong đó F1, F2 là hai tiêu điểm cố định, F1F2 = 2c là tiêu cự
Ví dụ 1: Các nhóm viết ph.trình chính tắc của elip của mình ?
NHÓM I: Có a = 6, c = 2
 b2 = a2 – c2 = 36 – 4 = 32. Do đó pt (E1) là:
NHÓM II: Có a = 7, c = 4
 b2 = a2 – c2 = 49 – 16 = 33. Do đó pt (E2) là:
NHÓM III: Có a = 7, c = 6
 b2 = a2 – c2 = 49 – 36 = 13. Do đó pt (E3) là:
NHÓM IV: Có a = 7, c = 13/5
 b2 = a2 – c2 = 1056/25. Do đó pt (E4 ) là:
E. (E) đi qua một trong các điểm N1( 6 ; 1) , N2( 8 ; – 5) và N3( – 1 ; 6)
Ví dụ 2: Cho (E):
. Hãy chọn mệnh đề SAI :
A. Tiêu cự là 6 và hai tiêu điểm F1 ( – 3 ; 0) , F2( 3 ; 0)
B. Tiêu cự là 6 và tâm sai e = 0,6
C. (E) qua các điểm A1(– 5 ; 0) , A2(5 ; 0) , B1( 0 ; – 4) và B2(0 ; 4)
?
Ví dụ 3: Cho (E):
và điểm M (x0 ; y0 )  (E ). Hãy chọn mệnh đề ĐÚNG NHẤT:
D. (E) đi qua M1( 3 ; 16/5) , M2( – 3 ; 16/5) , M3( 3 ; – 16/5 ) và M4(– 3 ; – 16/5)
A. Các điểm M1( – x0 ; y0 ) , M2 ( x0 ; – y0) , M3 (– x0 ; – y0) cũng thuộc (E)
C. – a  x0  a và – b  y0  b
?
B. (E) cắt các trục tọa độ tại A1(– a ; 0) , A2( a ; 0) , B1(0 ; – b) , B2(0 ; b)
D. Tất cả đều đúng
III.Nhận xét về hình dạng của elip
x
F1
F2
O
– c
c
M
( x0 ; y0 )
�
�
�
�
M2
( x0 ; – y0 )
M1
M3
(– x0 ; – y0 )
(x0 ; - y0 )
A1
A2
y
B1
B2
?
?
�
�
�
�
�
a
– a
– b
b
1.Tính đối xứng
Xét elip (E) có pt chính tắc:
Đường elip (E) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối xứng
 (E) cắt trục hoành tại A1(– a ; 0) và A2( a ; 0). Ta có A1A2 = 2a
 (E) cắt trục tung tại B1(0 ; – b) và B2 ( 0 ; b). Ta có B1B2 = 2b
2. Hình chữ nhật cơ sở
Ta gọi A1 , A2 , B1 , B2 là 4 đỉnh của elip (E).
 Trục Ox gọi là trục lớn của (E), ta cũng gọi đoạn A1A2 là trục lớn của (E )
 Trục Oy gọi là trục nhỏ của (E), ta cũng gọi đoạn B1B2 là trục nhỏ của (E )
( a ; b )
( a ; - b )
(- a ; b )
(- a ; - b )
 Hình chữ nhật PQRS có các cạnh tiếp xúc với (E) tại 4 đỉnh của (E) như hình vẽ gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E)
2. Tâm sai của elip
Ta đã định nghĩa tâm sai của elip là :
Tâm sai của elip là tỉ số giữa tiêu cự và trục lớn của elip
Ta có 0 < c < a nên tâm sai của elip luôn nhỏ hơn 1 :
0 < e < 1
Do đó :
Từ đó suy ra
hay
Nếu e càng nhỏ thì b càng gần bằng a 
(E) càng “mập”
Nếu e càng lớn thì b càng nhỏ so với a 
(E) càng “gầy”
Ví dụ 3: Hãy vẽ hình chữ nhật cơ sở của elip của nhóm. Tính độ dài trục lớn , trục nhỏ và tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở.
Ví dụ 4: Cho (E): x2 + 4y2 = 4. Hãy chọn mệnh đề đúng:
A. Độ dài trục lớn là 4, độ dài trục nhỏ là 2, tâm sai e = 2
B. Tọa độ các đỉnh của h.c.n cơ sở là (2;1), (2; -1), (-2 ; 1), (-2 ; -1)
C. Tiêu điểm F1(-3;0) , F2 (3 ; 0), đỉnh A1(-2 ; 0), A2(2 ;0)
D. Tiêu điểm F1 , F2 , đỉnh B1(-1 ; 0), B2(1 ;0)
?
Ví dụ 5: Pt chính tắc của (E) có độ dài trục bé là 8, tiêu cự là 4 là:
?
VÍ DỤ 6: Trong mặt phẳng Oxy cho Elip (E) có tâm sai e = 1/2 và độ dài trục lớn là 12 . Viết phương trình chính tắc của (E).
Tìm điểm M  (E) biết tung độ M nhỏ hơn 0 và F2M = 4.
Hướng dẫn giải
Ta có 2a = 12  a = 6
Lại có e = c/a  c = ae = 3
b2 = a2 - c2 = 36 – 9 = 27
Vậy pt chính tắc của (E) là :
Ta có F2M = 4  a - exM = 4  xM = 4 (thay a = 6, e = 0.5)
Vì M (E) nên
Vậy
Ví dụ 7: Tìm tâm sai của elíp biết độ dài trục lớn bằng ba lần độ dài trục nhỏ .

Theo giả thiết suy ra : a = 3b
Hướng dẫn giải
Mà a2 = b2 + c2  9b2 = b2 + c2 
Ta có
Tổng kết
y
Phương trình chính tắc của elip :
Trong đó a > b > 0, a > c> 0 , c2 = a2 – b2
Tiêu điểm F1 ( - c ; 0) , F2 ( c ; 0)
Tâm sai
Tọa độ các đỉnh A1(– a ; 0) , A2 ( a ; 0) , B1 (0 ; – b) , B2(0 ; b)
Trục lớn A1A2 = 2a
Trục nhỏ B1B2 = 2b
Các trục đối xứng : x’Ox , y’Oy
Tâm đối xứng : gốc tọa độ O
F1M = a + ex
F2M = a – ex
Tổ Toán
Trường THTH - ĐHSP TP.HCM
Cảm ơn quý Thầy, Cô đã tham dự buổi thao giảng.
Trân trọng kính chào.
Vì a > c nên a2 - c2 > 0, đặt b2 = a2 - c2 , ta có
(**) 