Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
3

2 CÁCH TÌM GTLN – VÀ GTNN CỦA
HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng , người ta
cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc
hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh
của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn
3
nhất.

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
HĐ1. Nhận biết khái niệm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số với , có đồ thị như Hình 1.15.
a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
bao nhiêu? Tìm sao cho .
3
b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 3đoạn
là
bao nhiêu? Tìm sao cho .

y
3

2
1
-2

-1 O
-1
Hình 1.15

Lời giải
a) Từ đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là
Với thì
a) Từ đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là
Với thì

1

2

3

x

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA

y

3

Cho hàm số xác định trên tập .
- Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
trên tập nếu với mọi và tồn tại sao cho .
Kí hiệu: hoặc .
3
- Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên tập nếu với mọi và tồn tại sao cho .
Kí hiệu: hoặc .

2
1
-2

3

-1 O
-1
Hình 1.15

1

2

3

x

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số xác định trên tập .
- Số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập nếu với mọi
và tồn tại sao cho .
Kí hiệu: hoặc .
- Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập nếu với mọi
3
và tồn tại sao cho .
Kí hiệu: hoặc .
Chú ý
- Ta quy ước rằng khi nói giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
(mà không nói "trên tập ") thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay giá trị
nhỏ nhất của trên tập xác định của hàm số.
- Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập , ta
thường lập bảng biến thiên của hàm số trên tập để kết luận.

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Tập xác định của hàm số là .
Cách 1. Sử dụng định nghĩa.
Dấu bằng xảy ra khi
Do đó

3

tức là khi hoặc .
.

Dấu bằng xảy ra khi
Do đó .

tức là khi .

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 2

1 ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Lời giải
Tập xác định của hàm số là .
Cách 2. Sử dụng bảng biến thiên.

𝑦 '=

Với ta có

( 1− 𝑥 2 ) '

2 √ 1− 𝑥

¿−

2

𝑥

3

√ 1− 𝑥

2

⇒ 𝑦 '=0⇔ 𝑥=0

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn Từ bảng biến thiên, ta
được:
𝑥
−1
1
0

+¿

𝑦'
𝑦

3

0

0
1

min[−1;1] 𝑓 (𝑥)= 𝑓 (−1)= 𝑓 (1)=0

−

.

0

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số
trên khoảng .
Lời giải
2

1𝑥 − 1
Ta 𝑦
có:' =1 − ¿ 2 2
𝑥 𝑥
l

⇒ 𝑦 '=0⇔ 𝑥

2

ℑ

[

⟺ 𝑥=1
− 1 𝑥=− 1
3

(

𝑥→ 0

𝑦

+¿

𝑥 −2 +

+¿

+∞

0

1
𝑥

+∞

=+ ∞ ¿

)

1
𝑥 −2+
= +∞
𝑥

; lim¿ ¿𝑦 = lim
lim
Tính các giới𝑥 → 0 𝑦 =
𝑥 →+ ∞
(
) 𝑥 →+ ∞
hạn:
Lập BBT của hàm số trên khoảng
𝑥 0
+∞ Từ bảng biến thiên, ta
1
được:
𝑦'
−
min
𝑦=𝑦(1)=0
0
+¿

(0;+∞)

Hàm số không có giá trị lớn
nhất trên khoảng .

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
Ví dụ 3. Giải bài toán trong tình huống mở
đầu
Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài
cạnh bằng , người ta cắt bốn hình vuông
bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một
3
chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật
không
có giải
nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình
Lời
vuông
bị dài
cắt cạnh
sao cho
chiếc
hộp
Gọi
là độ
của thể
các tích
hìnhcủa
vuông
nhỏ
được cắt ở bốn góc của tấm bìa
là lớn nhất.
Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh ở bốn góc và gập lên thì ta được
một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh
3
bằng và chiều cao bằng
2
3
2
3
𝑉
(
𝑥
)
=(60
−2
𝑥)
⋅
𝑥
Thể tích của chiếc hộp
¿ 4 𝑥 −240 𝑥 +3600 𝑥 ( c m )

này là:

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 2

1 ĐỊNH NGHĨA

Thể tích của chiếc hộp
là:
𝑉này
( 𝑥 )=(60
−2 𝑥)¿2 ⋅4𝑥𝑥3 −240 𝑥 2 +3600 𝑥 ( c m 3 )

𝑉 ' (𝑥)=12𝑥 − 480 𝑥 +3600⇒ 𝑉 ' (𝑥)=0
2

[

𝑥=10 (Thỏa
⟺
2
(Lo
⇔ 𝑥 − 40 𝑥 +300=0 𝑥=30 mãn)
3
3
ại)
Lập bảng biến
thiên:
𝑥 0
30
10

+¿

𝑉 '(𝑥)
𝑉 (𝑥)

0

0
16000

−

0

Vậy để thể tích của chiếc
hộp là lớn nhất thì độ dài
cạnh của các hình vuông
nhỏ phải cắt là .

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
Luyện tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các
hàm số sau:
a) ;
b) trên khoảng .
Lời giải
a) Tập xác định của hàm số là
3
2
3
( 2 𝑥 − 𝑥 )'
1−𝑥
𝑦 '=
¿2
⟺ 1 − 𝑥=0
⟺ 𝑥=1
2
2 √2 𝑥 − 𝑥 √ 2 𝑥 − 𝑥
Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn Từ bảng biến thiên, ta
được:
𝑥
2
0
1

⇒ 𝑦 '=0

𝑦'
𝑦

0

+¿

0

1

−

0

min[0;2] 𝑓 (𝑥)= 𝑓 (1)=1
ma x [ 0;2 ] 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 0 ) = 𝑓 (2)=0

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

1 ĐỊNH NGHĨA
Luyện tập 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các
hàm số sau:
a) ;
b) trên khoảng .
Lời giải

1 − 𝑥2 +2 𝑥 − 2
¿2
3
2
b) 𝑦 =−1 −
( 𝑥 −1)
( 𝑥 − 1)
'

2
⟺
−
𝑥
+2 𝑥 −2=0 Vô
⇒ 𝑦 '=0

Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn

𝑥 1
𝑦'
+∞
𝑦

+∞

−
3

−∞

nghiệm

Từ bảng biến thiên ta thấy
hàm số không có giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
HĐ2. Hình thành các bước tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
mộthàm
đoạnsố trên đoạn , với đồ thị như
Xét

2
1

Hình 1.16.

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ3nhất
của hàm số trên đoạn .
b) Tính đạo hàm và tìm các điểm mà .

1

O

-1
3

2

-1
-2

Hình
c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn1.16
và tại các điểm
đã tìm ở câu . So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với , số lớn
nhất trong các giá trị này với .

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 2

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Lời giải
Xét hàm số trên đoạn , với đồ thị như Từ đồ thị hàm số ta thấy
Hình 1.16.
ma x [ −1 ; 2 ] 𝑓 ( 𝑥 ) =1
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
min
𝑓
(
𝑥
)
=−2
[
−1
;2
]
3
3
2
1
-1

O

1
-1
-2

2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 2

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Lời giải
Xét hàm số trên đoạn , với đồ thị như
a)
Hình 1.16.
ma x [ −1 ;2 ] 𝑓
b) Tính đạo hàm và tìm các điểm
mà .
3

2

b)

𝑓 ' (𝑥)=3 𝑥 2 − 4 𝑥

1
-1

( 𝑥 ) =1
, min[ −1 ;2 ] 𝑓 ( 𝑥 )=−2

O

1
-1
-2

2

⇒𝑓

2
⟺
3
𝑥
− 4 𝑥=0
' (𝑥)=0

[

𝑥=0 ∈(1; 2)
⟺
4
𝑥= ∉( 1; 2)
3

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Lời giải
Xét hàm số trên đoạn , với đồ thị như a)
Hình 1.16.
ma x [ −1 ;2 ] 𝑓 ( 𝑥 ) =1
, min[ −1 ;2 ] 𝑓 ( 𝑥 )=−2
c) Tính giá trị của hàm số tại hai
b)
đầu mút của đoạn và tại các 3 𝑓 ' (𝑥)=3 𝑥 2 − 4 𝑥
⇒ 𝑓 ' (𝑥)=0
điểm đã tìm ở câu . So sánh số
𝑥=0 ∈(1; 2)
nhỏ nhất trong các giá trị này
2
⟺
4
⟺
3
𝑥
−
4
𝑥=0
với , số lớn nhất trong các giá trị
𝑥= ∉( 1; 2)
3
này với .
3
c)

[

𝑓 (− 1 )=−, 2𝑓 ( 2 )=1
, 𝑓 ( 0 )=1
Ta thấy:ma x [ −1 ;2 ] 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 0 ) = 𝑓 ( 2 )=1
, min[ −1 ;2 ] 𝑓 ( 𝑥 )= 𝑓 ( − 1 )=− 2

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Giả sử là hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên , có thể trừ ra tại
một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ
có hữu hạn điểm trong đoạn mà đạo hàm bằng 0.
Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá 3trị nhỏ nhất của hàm số trên
đoạn :
1. Tìm các điểm , tại đó bằng 0 hoặc không tồn tại.
2. Tính và .
3. Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số trên.
Ta có:

𝑀 =ma x [ 𝑎 ; 𝑏) 𝑓 ( 𝑥 ) ;𝑚=mi n[ 𝑎 ; 𝑏) 𝑓 ( 𝑥 )

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Lời giải

[

𝑥=0∈ [ 0 ; 4 ]
'
3
3
𝑦 '=4 𝑥 − 8 𝑥⇒ 𝑦 =0⇔ 4 𝑥 − 8 𝑥=0 ⟺ 𝑥=− √ 2∉ [ 0 ; 4 ]
𝑥= √ 2∈ [ 0 ; 4 ]
3

𝑦 ( 0 )=3
𝑦 ( 4 ) =195

𝑦 ( √ 2 )=− 1.
Do đó:

min[0;4] 𝑦= 𝑦( √2)=−1

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Lời giải

[

𝑥=0∈ [ 0 ; 4 ]
'
3
3
𝑦 '=4 𝑥 − 8 𝑥⇒ 𝑦 =0⇔ 4 𝑥 − 8 𝑥=0 ⟺ 𝑥=− √ 2∉ [ 0 ; 4 ]
𝑥= √ 2∈ [ 0 ; 4 ]
3

𝑦 ( 0 )=3
𝑦 ( 4 ) =195

𝑦 ( √ 2 )=− 1.
Do đó:

min[0;4] 𝑦= 𝑦( √2)=−1

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

Bài 2

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Ví dụ 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
y

Lời giải

B

𝑦 '=cos 𝑥 −sin 𝑥⇒ 𝑦 '=0⇔ cos 𝑥 −sin 𝑥=0

[

𝜋
3
∈[ 0 ; 2 𝜋 ]
4
⟺
⇔ cos 𝑥=sin 𝑥
5𝜋
𝑥=
∈[ 0 ; 2 𝜋 ]
4
5𝜋
𝜋
𝑦 ( 0 )=1; 𝑦 ( 2 𝜋 )=1; 𝑦 4 =√ 2; 𝑦 4

Do đó:

𝑥=

( )=− √ 2

( )

.

3

𝐴'

5𝜋
4

𝑂
B

𝜋
4

x

𝐴

Bài 1

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Luyện tập 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các
a) trên
đoạn ;
b) trên đoạn .
hàm
số sau:
Lời giải
a)

2

⇒ 𝑦 '=0

⇔ 6 𝑥 −6 𝑥+ 5=0 Vô
nghiệm
𝑦 ( 0 )=2
3
𝑦 ( 2 ) =16
Do đó:

mi n[ 0 ;2 ] 𝑦 =𝑦 (0)=2

b)
−𝑥
−𝑥
¿𝑒
−
𝑒
( 𝑥 +1 )
3

⇒ 𝑦 '=0⇔− 𝑒− 𝑥 𝑥 =0
⇔ 𝑥=0 ∈[− 1 ;1 ]
𝑥

𝑦 ( 1 )=2𝑒 ;
Do đó:

2
𝑦 ( −1 ) =¿𝑒 𝑥

𝑦 ( 0 )=1 ;

2
𝑥
𝑒

min[ −1;1] 𝑦=𝑦(−1)=¿

Bài 1

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Lời giải

Vận dụng. Giả sử sự lây lan của
một loại virus ở một địa phương
có thể được mô hình hoá bằng
hàm số
trong đó là số người bị nhiễm
bệnh (tính bằng trăm người) và
là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị
nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm biểu thị tốc độ lây
lan của virus (còn gọi là tốc độ
truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan
nhanh nhất khi nào?

a)

[

¿0

⟺ 𝑡 =0 ∈[ 0 ; 12 ]
𝑡 =8 ∈[ 0 ; 12 ]
3

𝑁 ( 0 )=0
3
𝑁 ( 8 )=256

𝑁 ( 12 ) =12
Do đó:
Vậy số người tối đa bị nhiễm bệnh ở
địa phương đó là người

Bài 2

GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

2 CÁCH TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
Lời giải

Vận dụng. Giả sử sự lây lan của
một loại virus ở một địa phương
có thể được mô hình hoá bằng
hàm số
trong đó là số người bị nhiễm
bệnh (tính bằng trăm người) và
là thời gian (tuần).
a) Hãy ước tính số người tối đa bị
nhiễm bệnh ở địa phương đó.
b) Đạo hàm biểu thị tốc độ lây
lan của virus (còn gọi là tốc độ
truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan
nhanh nhất khi nào?

b)
Ta thấy là một parabol có hệ
số
3

Do đó sẽ đạt giá trị lớn nhất
tại đỉnh của parabol ứng với
Vậy virus sẽ lây lan nhanh nhất ở
ngày thứ
3