CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Một mảnh vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng
một số cây cải bắp. Hãy tính số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn
đó, biết rằng:
-

Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì
số cải bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây;

-

Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số
cải bắp cả vườn sẽ tăng thêm 64 cây.

CHƯƠNG I. PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
BÀI 2. GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Phương pháp thế
2. Phương pháp cộng đại số
3. Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của
hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. PHƯƠNG PHÁP THẾ

 HĐ1: Cho hệ phương trình
Giải hệ phương trình theo hướng dẫn sau:
1. Từ phương trình thứ nhất, biểu diễn theo rồi thế vào phương trình thứ
hai để được một phương trình với một ẩn . Giải phương trình một ẩn đó để
tìm giá trị của .
2. Sử dụng giá trị tìm được của để tìm giá trị của rồi viết nghiệm của hệ
phương trình đã cho.

Giải:
1. Từ phương trình thứ nhất, ta có: .
Thế vào phương trình thứ hai ta được:

2. Thế vào phương trình : y = 3 – x, ta có : .
Vậy nghiệm của hệ đã cho là .

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn
kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình
chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra
nghiệm của hệ đã cho.

Ví dụ 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải:
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có .
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được
hay , suy ra
Từ đó
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Luyện tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

a)
Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có: .
Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
hay suy ra .
Từ đó .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Luyện tập 1

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế.

b)
Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có: .
Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
hay suy ra .
Từ đó .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có .
Thế vào phương trình thứ hai, ta được
hay

(1)

Do không có giá trị nào củathoả mãn hệ thức (1) nên hệ phương
trình đã cho vô nghiệm.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Luyện tập 2
Giải:

Từ phương trình thứ nhất ta có:
Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
hay (1)
Ta thấy không có giá trị nào của thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương
trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có . (2)
Thế vào phương trình thứ hai, ta được hay . (3)
Ta thấy mọi giá trị của đều thoả mãn hệ thức (3).
Với giá trị tuỳ ý của , giá trị tương ứng của được tính bởi (2).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với tuỳ ý.

Luyện tập 3

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
hay

(2)

Ta thấy mọi giá trị của đều thỏa mãn hệ thức (2)
Với mọi giá trị tùy ý của , giá trị tương ứng của được tính bởi
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là với tùy ý.

VẬN DỤNG 1

Xét bài toán trong tình huống mở đầu. Gọi là số luống trong
vườn, là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống

a) Lập hệ phương trình đối với hai ẩn .
b) Giải hệ phương trình nhận được ở câu a để tìm câu trả lời cho bài toán.
Giải:
a) Hệ phương trình là:

Từ phương trình thứ hai, ta có:

Giải:
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:

Từ đó,
Vậy nghiệm của hệ phương trình là .
b) Số cây bắp cải được trồng trên mảnh vườn đó là: (cây)

ĐỂ TIẾT KIỆM THỜI GIAN CHO QUÝ THẦY CÔ CẦN ĐẦY ĐỦ
BỘ TOÁN 6,7,8,9 THÌ LIÊN HỆ ZALO 0987 345 315.
Giá rẻ chỉ 199k

2. PHƯƠNG PHÁP CỘNG
ĐẠI SỐ

 HĐ2: Cho hệ phương trình Ta thấy hệ số của trong hai phương trình là hai số đối
nhau (tổng của chúng bằng 0). Từ đặc điểm đó, hãy giải hệ phương trình đã cho
theo hướng dẫn sau:
1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình một ẩn . Giải
phương trình này để tìm .
2. Sử dụng giá trị tìm được, thay vào một trong hai phương trình của hệ để tìm giá
trị của rồi viết nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Giải:

1. Cộng từng vế của hai phương trình ta được: nên .

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn
nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như
sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được
phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm
của hệ phương trình đã cho.

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:
Cộng từng vế hai phương trình ta được , suy ra .
Thế vào phương trình thứ hai ta được
, hay , suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Ví dụ 5. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:
Trừ từng vế của hai phương trình, ta được
hay , suy ra
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
hay , suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Luyện tập 4

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp
cộng đại số:

a)

Giải:
Cộng từng vế của hai phương trình, ta được:
suy ra .
Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:
suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

b)
Giải:
Trừ từng vế của hai phương trình, ta được: suy ra
Thay vào phương trình thứ hai ta được: suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .
Chú ý: Trường hợp trong hệ phương trình đã cho không có hai hệ số của cùng
một ẩn bằng nhau hay đối nhau, ta có thể đưa về trường hợp đã xét bằng cách
nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (khác 0).

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình
thứ hai với 2, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được hay
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có
, suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.

Luyện tập 5
Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 và nhân hai vế của phương trình thứ
hai với 4, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được hay
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có:
hay
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Ví dụ 7. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Giải:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có .
Hệ thức này luôn thoả mãn với các giá trị tuỳ ý của và .
Với giá trị tuỳ ý của , giá trị của được tính nhờ hệ thức suy ra

Luyện tập 6
Bằng phương pháp cộng đại số, giải hệ phương trình .

Giải:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới ta có
Ta thấy không có giá trị nào của thỏa mãn hệ thức trên
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Sử dụng máy tính cầm tay
để tìm nghiệm của hệ hai
phương trình bậc nhất
hai ẩn

Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất
hai ẩn bằng máy tính cầm tay
Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng
máy tính cầm tay (MTCT), chúng ta cần sử dụng loại máy có chức
năng này (thường có phím MODE).
Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:

Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ , ta viết nó dưới dạng
Khi đó, ta có , , ; , và . Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính phù hợp):
Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách
bấm các phím

Con trỏ ở vị trí .

Bước 2. Nhập các số , , ; , và bằng cách bấm:

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thức bước 2, bấm = , màn hình
cho ; bấm tiếp phím
phương trình là

,=
màn hình cho . Ta hiểu nghiệm của hệ

Chú ý:
1. Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím

AC

; muốn thay đổi số đã

nhập ở một vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.
2. Bấm phím

hay

để chuyển đổi hiển thị các giá trị của và trong

kết quả.
3. Nếu máy báo “Infinite Sol” thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
Nếu máy báo “No-Solution” thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Thực hành

Dùng MTCT thích hợp để tìm nghiệm của các hệ
phương trình sau:

a)

→H ệ ph ươ ng   tr ì nh  đã cho c ó nghi ệm  l à
b)
c)

Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
Hệ đã cho có nghiệm là , với

(

)

11 14
;− .
5
5

VẬN DỤNG 2
Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau để tính số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%
và số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 5% cần dùng để pha chế 2 lít dung dịch acid
HCl nồng độ 10%.
a) Gọi là số mililít dung dịch acid HCl nồng độ 20%, số mililít dung dịch acid HCl
nồng độ 5% cần lấy. Hãy biểu thị qua và
-

Thể tích của dung dịch acid HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch
acid ban đầu.

-

Tổng số gam acid HCl nguyên chất có trong hai dung dịch acid này.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, hãy lập một hệ phương trình bậc nhất với hai ẩn là . Giải
hệ phương trình này để tính số mililít cần lấy của mỗi dung dịch acid HCl ở trên.

Giải:
a) Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn bằng tổng thể
tích của dung dịch HCl nồng độ 20% và thể tích dung dịch acid HCl nồng độ 5%.
Đổi 2 lít = 2000ml
Ta có: (1).
Số gam acid HCl nồng độ 20% nguyên chất là: (g).
Số gam acid HCl nồng độ 5% nguyên chất là: (g).
Số gam acid HCl nồng độ 10% nguyên chất là: (g).
Do đó, (2).

Giải:
b) Từ (1) và (2) ta thu được hệ phương trình sau:

LUYỆN
TẬP

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hệ phương trình
(i) Từ phương trình thứ nhất của hệ, biểu diễn theo ta được: .
(ii) Từ phương trình thứ nhất của hệ, biểu diễn theo ta được: .
Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:
A. .

B. .

C. .

D. .

(i) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, rồi trừ từng vế của hai
phương trình ta được .
(ii) Nhân cả hai vế cuả phương trình thứ nhất với -6, rồi cộng từng vế của hai
phương trình ta được .
(iii) Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.
(iv) Hệ phương trình đã cho có nghiệm.
A. .

B.

C. .

D. .

Câu 3. Cho hệ phương trình có nghiệm là . Khi đó bằng:

Câu 4. Cặp số là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?
A. .

B. .

C. .

D.

Câu 5. Cho hệ phương trình

Biết rằng hệ phương trình có

nghiệm là . Tính .

A. .

B. .

C. .

D. .

Câu 6. Cho hệ phương trình .
Chọn khẳng định đúng :
A. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là .
B. Hệ phương trình vô nghiệm.
C. Hệ phương vô số nghiệm.
D. Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là

BÀI TẬP
Bài 1.6 (SHS-tr16) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a)
Giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Thế vào phương trình thứ hai, ta được: hay
Suy ra .
Từ đó .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

BÀI TẬP
Bài 1.6 (SHS-tr16) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
b)
Giải:
Từ phương trình thứ hai ta có:
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:
hay , suy ra .
Từ đó .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

BÀI TẬP
Bài 1.6 (SHS-tr16) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
c)
Giải:
Từ phương trình thứ hai ta có:
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:
hay suy ra (1)
Do không có giá trị nào của thỏa mãn hệ thực (1) nên hệ phương trình đã cho
vô nghiệm.

Bài 1.7 (SHS-tr16) Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp
cộng đại số:
a)
Giải:
Cộng từng vế của hai phương trình ta được hay .
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được: hay .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .