CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo
năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điều tra được cho

Nhóm

Tần số

trong bảng.

 

Tìm các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình cộng, trung vị, tứ
phân vị, mốt) cho mẫu số liệu ghép nhóm đó như thế nào cho thuận lợi?

CHƯƠNG V. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG
KÊ VÀ XÁC SUẤT
BÀI 1. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ
TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP
NHÓM

NỘI DUNG BÀI HỌC
I

II

Mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình cộng (Số
trung bình)

III

Trung vị

IV

Tứ phân vị

V

Mốt

I
MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

1. Bảng tần số ghép nhóm

HĐ1

Trong Bảng 1 ở phần mở đầu ta thấy:
⦁ Có 13 ô tô có độ tuổi dưới 4;
⦁ Có 29 ô tô có độ tuổi từ 4 đến dưới 8.
Hãy xác định số ô tô có độ tuổi:
a) Từ 8 đến dưới 12;
b) Từ 12 đến dưới 16;
c) Từ 16 đến dưới 20.

1. Bảng tần số ghép nhóm

Giải:

a) Có 48 ô có độ tuổi từ 8 đến dưới 12.
b) Có 22 ô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16.
c) Có 8 ô có độ tuổi từ 16 đến dưới 20.

KẾT LUẬN
• Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số
ghép nhóm.
• Mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm
theo một tiêu chí xác định có dạng , trong đó là đầu mút trái, là đầu
mút phải. Độ dài nhóm là .
• Tần số của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào nhóm
đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2,..., nhóm kí hiệu lần lượt là .

KẾT LUẬN
• Bảng tần số ghép nhóm được lập như ở

Nhóm

Tần số

…

 ... 

Bảng 2, trong đó mẫu số liệu gồm số liệu
được chia thành
khoảng ; ;....;,

nhóm ứng với
ở đó
và .

nửa

 
Bảng 2

Ví dụ 1
Bảng 3 biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm được cho dưới dạng
bảng tần số ghép nhóm. Hãy cho biết:

Nhóm

Tần số

a) Mẫu số liệu đó có bao nhiêu số liệu; bao nhiêu nhóm;
 

b) Tần số của mỗi nhóm.
Giải:
Từ Bảng 3, ta thấy:
a) Mẫu số liệu đó gồm 120 số liệu và 5 nhóm.
b) Tần số của các nhóm 1, 2, 3, 4, 5 lần lượt là:
11, 31 45, 21, 12.

Bảng 3

Luyện tập 1
Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có bao nhiêu số
liệu? Bao nhiêu nhóm? Tìm tần số của mỗi nhóm.
Giải:
Mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 có:
• 120 số liệu; 5 nhóm.
• Tần số mỗi nhóm lần lượt là: 13,29,48,22,8.

. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy
HĐ2

Một trường trung học phổ thông chọn 36 học sinh nam của khối 11,
đo chiều cao của các bạn học sinh đó và thu được mẫu số liệu sau
(đơn vị: centimét):

Từ mẫu số liệu không ghép nhóm trên, hãy ghép các số liệu
thành năm nhóm theo các nửa khoảng có độ dài bằng nhau.

. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích lũy

Giải:

Ta có thể chia mẫu số liệu thành năm nhóm dựa trên các nửa khoảng
có độ dài bằng nhau:

KẾT LUẬN
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu
ghép nhóm, ta thực hiện như sau:
• Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm tiêu chí
cho trước;
• Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc nhóm (tần số) và lập
bảng tần số ghép nhóm.

Chú ý:
Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có
độ dài bằng nhau và đầu mút của các nhóm có thể không
phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là .

Ví dụ 2

Trong bài toán ở Hoạt động 2, lập bảng tần số ghép nhóm có

năm nhóm ứng với năm nửa khoảng

Giải:

Bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm

Bảng 4

 

Tần số

Luyện tập 2
Một thư viện thống kê người đến đọc sách vào buổi tối trong 30 ngày của tháng
vừa qua như sau:

Lập bảng tần số ghép nhóm có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng sau:
[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Giải

Nhóm

 

Tần số

HĐ3

Trong Bảng 4, có bao nhiêu số liệu với giá trị không vượt quá
giá trị đầu mút phải:

a) 163 của nhóm 1?

b) 166 của nhóm 2?

d) 172 của nhóm 4?

c) 169 của nhóm 3?

e) 175 của nhóm 5?
Giải:

a) Có giá trị không vượt quá giá trị của nhóm .
b) Có giá trị không vượt quá giá trị của nhóm .
c) Có giá trị không vượt quá giá trị của nhóm .
d) Có giá trị không vượt quá giá trị của nhóm .
e) Có giá trị không vượt quá giá trị của nhóm .

KẾT LUẬN
• Tần số tích lũy của một nhóm là số số

Nhóm

Tần số Tần số tích lũy

liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ
hơn giá trị đầu mút phải của nhóm đó.
Tần số tích luỹ của nhóm 1, nhóm

......

.....

..........

2 ,..., nhóm kí hiệu lần lượt là ...,.
• Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả

 

 

tần số tích lũy được lập như ở Bảng 5.
Bảng 5

Ví dụ 3

Trong bài toán ở Hoạt động 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả
tần số tích luỹ có năm nhóm ứng với năm nửa khoảng: [160 ; 163),
[163 ; 166), [166 ; 169), [169; 172), [172; 175).

Giải: Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng:
Nhóm

 

Tần số

Tần số tích lũy

6

6

12

18

10

28

5

33

3

36
 

Luyện tập 3
Trong bài toán ở Luyện tập 2, lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả
tần số tích lũy có tám nhóm ứng với tám nửa khoảng:
[25; 34); [34; 43); [43; 52); [52; 61); [61; 70); [70; 79); [79; 88); [88; 97).

Giải:

Nhóm

 

Tần số

Tần số tích lũy

 

II
SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
(SỐ TRUNG BÌNH)

1. Định nghĩa
HĐ4. Xét mẫu số liệu trong Ví dụ 2 được cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm (Bảng 4).
a) Tìm trung điểm  của nửa khoảng (tính bằng
trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm

Nhóm

Giá trị đại diện

 

 

1. Ta gọi trung điểm là giá trị đại diện của nhóm
1.
b) Bằng cách tương tự, hãy tìm giá trị đại diện
của bốn nhóm còn lại. Từ đó, hãy hoàn thiện các
số liệu trong Bảng 7.
c) Tính giá trị   cho bởi công thức sau: 
Giá trị  gọi là số trung bình cộng của mẫu số liệu
đã cho.

Bảng 7

Tần số

Giải:

Vậy là giá trị đại diện của nhóm 1.
Tương tự ta tính được các giá trị đại diện:

Giải:

Bảng hoàn thiện:
Nhóm

 

Giá trị đại diện

Tần số

 

6.161,5+12.164,5+10.167,5+5.170,5 +3.173,5
𝑐¿ 𝑥=
≈ 166,4
36

KẾT LUẬN
• Trung điểm

của nửa khoảng (tính

bằng trung bình cộng của hai đầu

Nhóm

Giá trị
đại diện

Tần số

mút) ứng với nhóm là giá trị đại diện
của nhóm đó.
• Số trung bình cộng của mẫu số liệu

…

….

 

 

ghép nhóm, kí hiệu , được tính theo
công thức:

Bảng 8

….

Ví dụ 4

Một nhà thực vật học đo chiều dài

của 74 lá cây (đơn vị: milimét) và thu được
bảng tần số như Bảng 9.
Tính chiều dài trung bình của 74 lá cây trên
theo đơn vị milimét (làm tròn kết quả đến hàng
phần trăm).
Giải:
Chiều dài trung bình của 74 lá cây mà nhà thực vật học đo xấp xỉ là:

Luyện tập 4
Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm trong bài
toán ở Luyện tập 2.

Giải:
Nhóm

 

Giá trị đại diện

 

Tần số

2. Ý nghĩa

Số trung bình của mẫu số liệu

Nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu

ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho

số liệu; có thể dùng đại diện cho

số trung bình của mẫu số liệu

mẫu số liệu khi các số liệu trong

gốc.

mẫu ít sai lệch với số trung bình
cộng.

III
TRUNG VỊ

1. Định nghĩa
HĐ5. Trong phòng thí nghiệm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên
khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số
tích luỹ như Bảng 10.

a) Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy
lớn hơn hoặc bằng  có đúng không?
b) Tìm đầu mút trái , độ dài , tần số  của nhóm
3; tần số tích lũy  của nhóm 2.
c) Tính giá trị  theo công thức sau:
Giá trị

được gọi là trung vị của mẫu số liệu

ghép nhóm đã cho.

Nhóm

Tần số
Tần số
tích lũy

[27,5; 32,5)
[32,5; 37,5)
[37,5; 42,5)
[42,5; 47,5)
[47,5; 52,5)

16
24
20
30
9

16
40
60
90
99

 

n = 99

 

Bảng 10

Giải:
a) Đúng.
b)
+ Đầu mút trái
+ Độ dài
+ Tần số
+ Tần số tích lũy
c)

KẾT LUẬN
• Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích lũy như ở Bảng 5.
• Giả sử nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng ,
tức là nhưng . Ta gọi lần lượt là đầu mút trái,

độ dài, tần số của nhóm

; là tần số tích lũy của nhóm .
• Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu , được tính theo
thức:
• Quy ước: .

công

Ví dụ 5
Sau khi điều tra về số học sinh trong 100 lớp học,
người ta chia mẫu số liệu đó thành năm nhóm căn
cứ vào số lượng học sinh của mỗi lớp (đơn vị: học
sinh) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần
số tích luỹ như Bảng 11. Tìm trung vị của mẫu số
liệu đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải:
Số phần tử của mẫu là .
Ta có:
Mà . Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng .
Xét nhóm 4 là nhóm có và nhóm 3 là nhóm có
Áp dụng công thức, ta có trung vị của mẫu số liệu là
(học sinh)

Luyện tập 5

Xác định trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1.

Giải:
Nhóm

Tần số
tích lũy

Tần số

Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn
hoặc bằng là nhóm 3
+ ; ;
+

 

 

2. Ý nghĩa

Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của
mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện
cho mẫu số liệu đã cho.

IV
TỨ PHÂN VỊ

1. Định nghĩa
HĐ6. Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của 40
học sinh thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm bao gồm
cả tần số tích lũy như Bảng 12.
a) Tìm trung vị  của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
Trung vị  còn gọi là tứ phân vị thứ hai  của mẫu
số liệu trên.
b)
•Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn
hơn hoặc bằng  có đúng không?

Nhóm

Tần số

Tần số
tích lũy

[0; 60)
[60; 120)
[120; 180)
[180; 240)
[240; 300)

6
13
13
6
2

6
19
32
38
40

 

n = 40

 

Bảng 12

1. Định nghĩa
⦁Tìm đầu mút trái , độ dài , tần số  của nhóm 2; tần số tích luỹ  của nhóm 1. Sau đó,
hãy tính giá trị  theo công thức sau:
Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ nhất  của mẫu số liệu đã cho.
c) •Nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng  có đúng
không?
• Tìm đầu mút trái , độ dài, tần số  của nhóm 3; tần số tích luỹ  của nhóm 2. Sau đó,
hãy tính giá trị  theo công thức sau:
Giá trị nói trên được gọi là tứ phân vị thứ ba  của mẫu số liệu đã cho.

Giải:
a)
b) Đúng
Đầu mút trái ; Độ dài ; Tần số ; Tần số tích lũy

c) Đúng
Đầu mút trái ; Độ dài ; Tần số ; Tần số tích lũy

KẾT LUẬN
Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5.
• Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
Tứ phân vị thứ hai bằng trung vị
• Giả sử nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng , tức là
nhưng . Ta gọi lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm ; là tần số
tích lũy của nhóm .
Tứ phân vị thứ nhất được tính theo công thức sau:

KẾT LUẬN
• Giả sử nhóm là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng , tức là
nhưng . Ta gọi lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm ; là tần số
tích lũy của nhóm .

Tứ phân vị thứ ba được tính theo công thức sau:

Ví dụ 6
Bảng 13 cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh
lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Xác định tứ phân vị
của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
Giải:
Số phần tử của mẫu là .
Ta có: mà .
Suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ
lớn hơn hoặc bằng
Xét nhóm 2 là nhóm có
và nhóm 1 là nhóm có

Giải:
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ nhất là
(kg)
Ta có mà .
Suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
Xét nhóm 3 là nhóm có và nhóm 2 là nhóm có
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ hai là
(kg)

Giải:
Ta có mà .
Suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
Xét nhóm 4 là nhóm có và nhóm 3 là nhóm có
Áp dụng công thức, ta có tứ phân vị thứ ba là
(kg)
Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:
(kg); (kg); (kg)

Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Bảng 1 (làm

Luyện tập 6

tròn các kết quả đến hàng đơn vị).
Giải:

Nhóm

Tần số

Tần số

• Tứ phân vị thứ nhất :

tích lũy

Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc
bằng là nhóm 2
;;;.