BÀI 7:
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
NỘI DUNG
1) Tìm giao điểm của hai đường.
2) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của một pt
3) Bài toán tiếp tuyến.
Bài toán 1: Cho hàm số y = x3 - x2 + 2 (C)
và (P): y = x2 + 2. Tìm giao điểm của (C) và (P)
Toạ độ giao điểm của (C) và (P) là nghiệm của hệ sau:
Vậy (C) và (P) có 2 giao điểm là: A(0;2), B(2;6)
Ghi chú�:
PT (1) được gọi là PT hoành độ giao điểm Của (C) và (P).
HD:
Tổng quát:
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y = g(x)
có đồ thị là (C`). Tìm giao điểm của (C) và (C`)
PHƯƠNG PHÁP:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C`)
f(x) = g(x) (*)
2) Giải phương trình hoành độ giao điểm
3) Giả sử PT (*) có nghiệm là x0 , x1. thì giao điểm của
(C ) và (C`) là : M0(x0;f(x0)), M1(x1; f(x1)).
Lưu ý:
Số nghiệm của PT (*) bằng số giao điểm của (C) và (C`)

Ví dụ:
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số sau:
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d) là
Số nghiệm của PT (1) chính là số giao điểm của (C) và (d)
(1) <=> x2 - x + 2 = (x - m)(x - 1) <=> mx = m - 2 (2)
Biện luận:
+) Nếu m = 0. PT (2) có dạng: 0x = -2 => (2) vô nghiệm
=> (C) và (d) không có giao điểm
+) Nếu m ? 0. PT (2) có nghiệm duy nhất
(hiện nhiên x ? 1) => (C) và (d) có 1 giao
điểm (x;y) với :
GT
GIẢI:
BÀI TOÁN2: Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của
PT : f(x,m) = 0 (*)

PHƯƠNG PHÁP:
1) Biến đổi f(x,m) = 0 <=> g(x) = h(m) là PT HĐGĐ của hai
đường y = g(x) (C) và đường thẳng y = h(m) (d)
Số giao điểm của (d) và (C) bằng số nghiệm của PT (*)
2) Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = g(x)
3) Đường thẳng (d) có phương song song với trục 0x và
cắt 0y tại điểm có tung độ y = h(m)
Ví dụ:
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x3 + 3x2 - 2
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của PT :
-x3 + 3x2 - 2 - m = 0 (1)
GIẢI:
HS tự làm(BT)
PT (1) <=> -x3 + 3x2 - 2 = m là PT HĐGĐ của đồ thị (C)
và đường thẳng y = m (d)
+) Số nghiệm của PT (1) bằng số giao điểm của (C) và (d)
+) Đường thẳng y = m có phương song song với trục 0x và
cắt 0y tại điểm có tung độ y = m

-2
2
(C) và (d) có 1 điểm chung:
PT có 1 nghiệm
(C) và (d) có 2 diểm chung:
PT có 2 nghiệm
(C) và (d) có 3 điểm chung:
Pt có 3 nghiệm
(C) và (d) có 2 điểm chung:
Pt có 2 nghiệm
(C) và (d) có 1 điểm chung:
Pt có 1 nghiệm
m < -2
m = -2
-2< m < 2
m = 2
m > 2
Đồ thị (C)
BIỆN LUẬN
Bài toán 3: Viết phương trình của tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)
Viết PT tiếp tuyến của (C) tại điểm Mo(xo; f(xo))
b) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k
c) Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x1; y1)
PHƯƠNG PHÁP:
PTTT của (C) tại điểm M0(xo; f(xo)) là: y = f`(x0)(x - xo) + yo
b) Giải phương trình f`(x) = k ta được các hoành độ tiếp điểm
là xi (i =1,2..)
PTTT cần tìm là: y = k(x - xi) + yi (với yi = f(xi))
c) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm M
=> PT của d là: y = k(x - x1) + y1
Để d là tiếp tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm
-Giải hệ cho ta hệ số góc k
-Thay k vào PT của d ta có PTTT
cần tìm
Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 3 (C). Viết PTTT của (C)
Tại x = 1
b) Biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
c) Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(0;3)
HD:
TXĐ: D = R, ta có y` = 3x2 - 6x
Vì x = 1 => y = 1 và f`(1) = -3 => PTTT tại M0(1;1) là:
y = -3(x - 1) + 1 ? y = -3x + 4
b) Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 => f`(x) = 9
? 3x2 - 6x = 9 ? x2 - 2x - 3 = 0 => x = -1 hoặc x = 3
Với x = -1 => y = -1 => PTTT là: y = 9x + 8
Với x = 3 => y = 3 => PTTT là: y = 9x + 24
c) Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua điểm M(0;3)
=> PT của d là: y = kx + 3
Để d là tiếp tiếp tuyến của (C) thì hệ sau phải có nghiệm



Trong bài toán 1: PT x3 - x2 + 2 = x2 +2 (1)
đgl pt hoành độ giao điểm của (C) và (P)
+) Nếu viết lại (1) <=> x3 + 2 = 2x2 + 2 thì đây là PT HĐGĐ
của hai đường: y = x3 + 2 và y = 2x2 + 2
+) Hoặc (1) <=> x3 - 2x2 + 2 = 2 là PT HĐGĐ của 2 đường
y = x3 - 2x2 + 2 và y = 2 (có phương //0x)
+) Hoặc (1) <=> x3 - 2x2 = 0 là PT HĐGĐ của 2 đường
y = x3 - 2x2 và y = 0 (trục 0x)
Tóm lại :
Ta có thể xem (1) là PT HĐGĐ của hai đường nào đó
Bài toán: Tìm giao điểm của hai dường số y = f(x) (C)
và y = g(x) (C`)
PHƯƠNG PHÁP:
Lập PTHĐGĐ của (C) và (C`): f(x) = g(x) (*)
2) Giải PTHĐGĐ
3) Giả sử PT (*) có nghiệm là x0 , x1. thì giao điểm của
(C ) và (C`) là : M0(x0;f(x0)), M1(x1; f(x1)).
Số nghiệm của PT (*) chính là số giao điểm của (C) và (C`)
Bài toán: Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của
PT : f(x,m) = 0 (*)
PHƯƠNG PHÁP:
1) Biến đổi f(x,m) = 0 <=> g(x) = h(m) là PT HĐGĐ của hai
đường y = g(x) (C) và đường thẳng y = h(m) (d)
Số giao điểm của (d) và (C) bằng số nghiệm của PT (*)
2) Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = g(x)
3) Đ. thẳng (d) // 0x và cắt 0y tại điểm có tung độ y = h(m)
4) Dựa vào đồ thị (C) để KL