CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Nghịch lý Zeno
Achilles (nhân vật trong thần thoại Hy Lạp, được mô tả có thể chạy nhanh như gió)
đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Vị trí xuất phát của Achilles là ,

cách

vị trí xuất phát của rùa một quãng đường có chiều dài là a. Zeno lí luận rằng, mặc dù
chạy nhanh hơn nhưng Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

Thật vậy, trước tiên Achilles phải đến được vị trí trong khoảng thời gian này, rùa đã di
chuyển đến vị trí . Sau đó, Achilles phải đến được vị trí , lúc này rùa đã di chuyển đến
vị trí Cứ như vậy, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa.

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Giới hạn của dãy số

02

Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

03

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

04

Giới hạn vô cực của dãy số

01
GIỚI HẠN CỦA
DÃY SỐ

HĐ1

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số với 
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Trả lời:
a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là
.
Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

𝑢1

−1

𝑢4 𝑢2

𝑢3 𝑢5

0

1

HĐ1

Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số với 
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01?
Trả lời:
b) Khoảng cách từ đến 0 là .
Ta có:
Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

KHÁI NIỆM
Ta nói dãy số có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô
cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .

Ví dụ 1:
Xét dãy số với . Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0.
Giải
Dãy số này có giới hạn là 0, bởi vì có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý khi
đủ lớn.
Chẳng hạn, để tức là , ta cần hay .
Như vậy các số hạng của dãy kể từ số hạng thứ 101 đều có giá trị tuyệt đối nhỏ
hơn .

Chú ý
Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:
 với k là một số nguyên dương.


nếu

 Nếu với mọi và thì .

LUYỆN TẬP 1
Chứng minh rằng

Giải
Xét dãy số có
Ta có:
;
Do đó, .

HĐ2

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số với  . Xét dãy số xác định bởi .
Tính 
Trả lời:
Ta có:
Do đó

ĐỊNH NGHĨA
Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới
dương vô cực nếu , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 2: Xét dãy số với Chứng minh rằng.
Giải
khi

Ta có
Do vậy

.

Chú ý


khi và chỉ khi

 Nếu (c là hằng số) thì

LUYỆN TẬP 2
Cho dãy số với   . Chứng minh rằng 
Giải
Ta có:
khi
Do vậy .

VẬN DỤNG 1
Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần
chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng  độ cao trước đó. Giả sử rằng quả
bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô
hạn lần. Giả sử  là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên
thứ . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn là 0.

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22
hfENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link

LUYỆN TẬP

50:50

Câu 1. Dãy số nào sau đây có giới hạn 0?

A.
C.
B.

D
.

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22
hfENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link

Bài tập 5.4 (SGK-tr109)
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:
a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...
Giải

b) Ta có:

Do  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và nên:

Vậy

VẬN DỤNG

Bài tập 5.5 (SGK-tr109)
Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày
đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%.
Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5.
Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng
thuốc trong một thời gian dài.

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint cả năm tất cả các bài
môn: Toán 11 Kết nối tri thức
https://drive.google.com/drive/folders/1ZCGcKUk8t22
hfENMVNbn4JMpmxW7Ta2H?usp=drive_link