Bài Tiểu Luận
dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn của
hàm số
Sinh Viên : Nguyễn Thị Thuý Hằng Lớp : K10-ĐHSP Toán
Mở đầu


Khái niệm giới hạn là cơ sở của gi?i tích toán học,gi?i tích bắt đầu bằng khái niệm giới hạn. Bản chất đạo hàm của hàm số chính là giá trị của giới hạn(giới hạn của tỉ số số gia hàm số trên số gia đối số dần tới không).Do đó để tính đạo hàm của một hàm số ta phải đi tim giới hạn.Trong bài tiểu luận này tôi xin trinh bày con đường ngược lại.Tức là : để tim giới hạn ta sẽ tính đạo hàm.
để tìm giới hạn của hàm số dạng ngoài các phương pháp thông thường ta còn có thể "Dùng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn".Các dạng vô định còn lại như 0. , - , ; ; cũng có thể biến đổi qua dạng rồi làm tương tự ."


Bên cạnh việc sử dụng phương pháp tim số hạng vắng hay Lôpital thi phương pháp này cũng rất hiệu qua để tính giới hạn dạng vô định. Vi vậy tôi chọn đề tài " Dùng định nghĩa đạo hàm tim giới hạn hàm số"
Trong khuôn khổ đề tài tôi trinh bày nội dung của phương pháp và một số ví dụ áp dụng.
Nội Dung.
1.Cơ sở của phương pháp:
Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x=x0 thi
f`(x0) =
2.Phương pháp: Gia sử cần tính L = Q(x) có dạng
Ta biến đổi giới hạn về một trong các dạng sau:
Dạng1: L = = f`(x0)

Dạng2: L = .P(x) = f`(x0).P(x0) ;Với P(x0)


Dạng3: L = = ;Với g`(x0) 0
3.Chú ý:
Với một số bài tập có dạng vô định ta dùng cách biến đổi như sau:
Dạng 0. : f(x).g(x) =


Dạng - : f(x) - g(x) = - =

Dạng ; ; Cho hàm số y= [f(x)]g(x) ; để tính y mà
f(x) = 1 và g(x) =

hoặc f(x) = và g(x) = 0

hoặc f(x) = 0 và g(x) = 0
Ta làm như sau:
Lấy lôgarit hai vế
lny=g(x).lnf(x) ( Dạng 0. )
- Chuyển lny về dạng giới hạn rồi áp dụng một trong ba dạng trên
4.Một số ví dụ
Ví dụ1 Tính giới hạn A=
Giai:
đặt f(x) = Ta có f(1) = 0

f`(x) = f`(1) = =

Khi đó = = f`(1) =
Ví dụ2
Tính giới hạn B =
Giai:
Ta có B =

đặt f(x) = Ta có f(1) = 0

f`(x) = f`(1) =

Khi đó B = . . = f`(1). =
Ví dụ3
Tính giới hạn C =
Giai:
Viết lại giới hạn trên như sau: K =

đặt f(x) = Ta có f(0) = 0
f`(x) = + cosx f`(0)=0

đặt g(x) = Ta có g(0) = 0
g`(x) = -1 g`(0)=


Khi đó C = = = = 0
Ví dụ4 Tính D = ; Với a 0
Giai:
Viết lại giới hạn trên như sau:
D = =


đặt f(x)= Ta có f(a)= cot = 0

f`(x) = f`(a) = . =


= = f`(a) = Vậy A= =
�

Ví dụ5
Tính giới hạn E = (Dạng )
Giai
đặt y =
Lấy Logarit 2 vế ta có: lny =
Xét f(x) = Ta có f(0) = 0
f`(x) = f`(0) = 2

= = f`(0) = 2

Do đó E = = e2
Ví dụ6
Tính giới hạn F =
Giai
đặt f(x) = Ta có f(0) = 0

f`(x)= - f`(0) = -

Vậy F = = f`(0) = -

� Bài tập : Tính các giới hạn sau


1 5

2 6

3 7

4 8




kết luận
Như vậy ta thấy rằng ứng dụng của việc sử dụng phương pháp này không hề nhỏ. Ngoài phương pháp gọi số hạng vắng thì đây có thể gọi là "chìa khóa vạn năng" để giải quyết các bài toán tìm giới hạn hàm số dạng vô định. Hi vọng bài tiểu luận này sẽ là tài liệu tham khảo có ích cho giáo viên toán và học sinh THPT.




Thank you !