KHỞI ĐỘNG

Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của bác Thanh có
nửa chu vi bằng 60 m, diện tích 884 m2. Làm thế
nào để tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn?
Tìm hai số khi biết tổng của chúng
bằng 60 và tích của chúng bằng 884.
Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng
của khu vườn (0 < x1, x2 < 60).
Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay
x1 + x2 = 60.
Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m2 hay
x1 . x2 = 884.

Bài 3.
ĐỊNH LÍ VIÈTE



1. Định lí Viète
Cho phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2. Tính
1 x  + x  và x . x .
1
2
1 
2
Giải
Phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 nên ta có:
 b    b    2b  b
x1  x2 



2a
2a
2a
a
  b      b    b   b  b  4ac  4ac c
x1.x2 

 2 
 .

2
2
4a
4a
4a
a
 2a   2a 
2

2

2

1. Định lí Viète
*Định lí Viète:
Nếu phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng và tích
của hai nghiệm đó là:
b

S x1  x2 

a
c
P x1.x2 
a

1. Định lí Viète
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có)
của các phương trình:
a) x2 – 7x + 5 = 0;
b) 5x2 – 2x + 7 = 0.
Giải
a) Ta có: ∆ = (–7)2 – 4 . 1 . 5 = 29 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1, x2.

b
c
7; x1.x2  5.
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2 
a
a

b) Ta có: ∆ = (–2)2 – 4 . 5 . 7 = –136 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

1. Định lí Viète

Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 5x + 3 = 0. Không giải
phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:

1 1
a) 
x1 x2

b) x12  x2 2

Giải
Phương trình x2 – 5x + 3 = 0 có ∆ = (–5)2 – 4.1.3 = 13 > 0 nên phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1, x2.

b
c
5; x1.x2  3.
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2 
a
a
1 1 x1  x2 5
 

a) Ta có:
x1 x2
x1 x2
3
2
2
2
x

x

x

2
x
x

x
b) Ta có:  1
2
1
1 2
22
Suy ra: x  x2  x1  x2   2 x1 x2 5  2.3 19.
2
1

2

2

2

1. Định lí Viète
*Nhận xét:
- Nếu phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có
c
một nghiệm là x1 = 1, nghiệm còn lại là x2  .
a
- Nếu phương trình ax2 + bx + x = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có
c
một nghiệm là x1 = – 1, nghiệm còn lại là x2  .
a

1. Định lí Viète
Ví dụ 3: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) 15x2 + 7x – 22 = 0;
b) 18x2 – 7x – 25 = 0.
Giải
a) Phương trình 15x2 + 7x – 22 = 0 có a + b + c = 15 + 7 + (–22) = 0.

c
22
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 1; x2  
a
15
b) Phương trình 18x2 – 7x – 25 = 0 có a – b + c = 18 – (–7) + (–25) = 0.

c 25
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1  1; x2  
a 18

Thực hành 1: Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình:
a) x 2  2 7 x  7 0;

b) 15x 2  2 x  7 0;
Giải

c) 35x 2  12 x  2 0.

a) Ta có:  '  7   1.7 0 nên phương trình có nghiệm kép.
b
c
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2  2 7; x1.x2  7.
a
a
b) Ta có: ∆ = (–2)2 – 4 . 15 . (–7) = 424 > 0 nên phương trình phương trình có
hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b 2
c 7
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2   ; x1.x2   .
a 15
a 15
c) Ta có: ∆ = (–12)2 – 4.35.2 = –136 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

 

2

Thực hành 2:
Cho phương trình x2 + 4x – 21 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
2 2
a) 
b) x12  x2 2  x1 x2
x1 x2
Giải
Phương trình x2 + 4x – 21 = 0 có ∆ = 42 – 4 .1. (–21) = 100 > 0
Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b
c
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2   4; x1.x2   21.
a
a
2  x1  x2  2.(  4) 8
2
2
a) Ta có:
 


x1 x2
x1 x2
 21
21
2
2
x

x

x
x

x

2
x
x

x
b) Ta có:  1 2 
1 2
1
1 22
22
2

Suy ra: x  x2  x1 x2  x1  x2   3x11x22  4   3. 21 79.
2
1

2

2

2

Thực hành 3:

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
a) –315x2 – 27x +342 = 0;
b) 2 022x2 + 2023x + 1 = 0.
Giải

a) Phương trình –315x2 – 27x + 342 = 0 có a + b + c = –315 – 27 + 342 = 0.

c
342
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 1; x2  
a
315
b) Phương trình 2 022x2 + 2 023x + 1 = 0 có a – b + c = 2 022 – 2 023 + 1 = 0.

c
1
.
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1  1; x2  
a
2022

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Cho hai số u và v có tổng u + v = 8 và tích uv = 15.
2 a) Từ u + v = 8, biểu diễn u theo v rồi thay vào uv = 15, ta nhận được
phương trình ẩn v nào?
b) Nếu biểu diễn v theo u thì nhận được phương trình ẩn u nào?
Giải
a) Từ u + v = 8 suy ra u = 8 – v thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn v là:
(8 – v)v = 15 hay 8v – v2 = 15.
Vậy phương trình ẩn v nhận được là 8v – v2 = 15.
b) Từ u + v = 8 suy ra v = 8 – u thay vào uv = 15 ta được phương trình ẩn u là:
u(8 – u) = 15 hay 8u – u2 = 15.
Vậy phương trình ẩn u nhận được là 8u – u2 = 15.

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của
phương trình:
x2 – Sx + P = 0.
Điều kiện để có hai số đó là: S2 – 4P 0.

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Ví dụ 4: Tìm hai số (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:
a) Tổng của chúng bằng 23 và tích của chúng bằng 120.
b) Tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng 30.
Giải
a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 – 23x + 120 = 0.
  23  4.1.120 49  0;   49 7.
23  7
23  7
x1 
15; x2 
8.
2
2
Vậy hai số cần tìm là 15 và 8.
b) Ta có S2 – 4P = 102 – 4.30 = –20 < 0.
Vậy không có hai số thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ta có:

2

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Thực hành 4:
a) Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 44.
b) Có tồn tại hai số a và b có tổng bằng 7 và tích bằng 13 không?
Giải
a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: x2 – 15x + 44 = 0.
  15   4.1.44 49  0;   49 7.
15  7
15  7
x1 
11; x2 
4.
2
2
Vậy hai số cần tìm là 15 và 8.
b) Ta có S2 – 4P = 72 – 4.13 = –3 < 0.
Vậy không có hai số thỏa mãn điều kiện đã cho.

Ta có:

2

Vận dụng

Khu vườn nhà kính hình chữ nhật của
bác Thanh có nửa chu vi bằng 60 m, diện
tích 884 m2. Làm thế nào để tính chiều
dài và chiều rộng của khu vườn?
Giải

Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 60).
Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 60 m hay: x1 + x2 = 60.
Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 884 m2 hay: x1 . x2 = 884.
Khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 60x + 884 = 0.

 '  30   1.884 16  0;  '  16 4.
30  4
30  4
x1 
34; x2 
26.
1
1
Vậy chiều dài khu vườn là 34 m và chiều rộng là 26 m.
2

LUYỆN TẬP
VẬN DỤNG

BÀI 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi
phương trình: a) 3x 2  9 x  5 0;
b) 25x 2  20 x  4 0;
c) 5x 2  9 x  15 0;
d) 5x 2  2 3 x  3 0.
Giải
a) Ta có Δ = (−9)2 – 4 . 3 . 5 = 21 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt
x1, x2.
b
c 5
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2  3; x1.x2   .
a

a

3

b) Ta có Δ = (−20)2 – 4 . 25 . 4 = 0 nên phương trình có nghiệm kép x1, x2.
b 4
c 4
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2   ; x1.x2   .
a 5
a 25

c) Ta có Δ = (−9)2 – 4 . 5 . 15 = –219 < 0 nên phương trình vô nghiệm.
2
d) Ta có   2 3   4.5. 3 72  0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.





b 2 3
c 3
; x1.x2   .
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2  
a
5
a 5

BÀI 2: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:
b) 2,5 x 2  7,2 x  4,7 0;
a) 24 x 2  19 x  5 0;
3 2
7
c) x  5 x  0;
d) 2x 2  2  3 x  3 0.
2
2
Giải
a) Phương trình 24x2 – 19x – 5 = 0 có a + b + c = 24 + (–19) + (–5) = 0.
c
5
.
Vậy phương trình có hai nghiệm là  x1 1; x2  
a
24
b) Phương trình 2,5x2 + 7,2x + 4,7 = 0 có a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.
c
4,7  47

.
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1  1; x2  
a
2,5 25
3
7
c) Phương trình có a  b  c   5  0
2
2
c
7 3 7
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1  1; x2   :  .
a
2 2 3
d) Phương trình có a  b  c 2  2  3  3 0
c
3
Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 1; x2   .
a
2









BÀI 3: Tìm hai số u và v (nếu có) trong mỗi trường hợp sau:
a) u + v = 29, uv = 154;
b) u + v = –6, uv = –135;
c) u + v = 5, uv = 24.
Giải
a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 − 29x + 154 = 0.
Ta có:  292  4.1.154 225  0;   225 15.
29  15
29  15
x1 
=22; x2
=7.
2.1
2.1

Vậy u = 22, v = 7 hay u = 7, v = 22.
b) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 + 6x –135 = 0.
2

'


3
Ta có:
   1. 135  144  0;  '  144 12.
3  12
3  12
x1 
=15; x2 
=  9.
1
1

Vậy u = 15, v = –9 hay u = –9, v = 15.
c) Điều kiện để có hai số đó là: S2 − 4P ≥ 0 mà 52 – 4 . 24 = –71 < 0.
Vậy không tồn tại hai số u và v thỏa mãn u + v = 5, uv = 24.

BÀI 4: Cho phương trình x2 – 19x – 5 = 0. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị các biểu thức:
2 2
3
3
a) A= x12  x2 2 ;
b) B  
c) C 

x1 x2
x1  2 x2  2
Giải
Phương trình x2 – 19x – 5 = 0 có ∆ = (–19)2 – 4 .1. (–5) = 381 > 0 nên phương trình đã cho
có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b
c
Theo định lí Viète, ta có: x1  x2  19; x1.x2   5.
a
a
2
a) Ta có:  x1  x2   x1 x2 x12  2 x1 x2  x2 2
Suy ra: A x12  x2 2  x1  x2   2 x1 x2 192  2. 5  371
2 2 2  x  x  2.19
38
b) Ta có: B    1 2 

x1 x2
x1 x2
5
5
2

c) Ta có:

3. x2  2   3  x1  2 
3  x1  x2   12
3
3
3.19  12
69
C





x1  2 x2  2
x1 x2  2  x1  x2   4  5   2.19  4 37
 x1  2  x2  2 

BÀI 5:

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 116 m, diện tích 805 m2. Tính
chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó.
Giải
Gọi x1, x2 (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của khu vườn (0 < x1, x2 < 116).
Nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là 116 : 2 = 58 (m) hay x1 + x2 = 58.
Diện tích khu vườn hình chữ nhật là 805 m2 hay x1 . x2 = 805.
Khi đó, x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 − 58x + 805 = 0
2
 '  29   1.805 36  0;  '  36 6.
29  6
29  6
x1 
35; x2 
23.
1
1

Vậy chiều dài khu vườn là 35 m và chiều rộng là 23 m.

Hẹn gặp lại các em ở tiết học sau!