Chương: III
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu về một phương pháp chứng minh nhiều khẳng định trong toán học liên quan tập hợp số tự nhiên đó là “ Phép quy nạp toán học.”
Tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về “dãy số” và cuối cung các em sẽ được tìm hiểu một số vấn đề xung quanh 2 dãy số đặc biệt là “cấp số cộng” và “cấp số nhân.”
Tiết 37: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Xét 2 mệnh đề chứa biến
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
P(n) Q(n)
b. Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn là đúng hay sai.
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
2
8
16
32
5
4
3
2
1
4
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
Đ
S
Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:
Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi nN*, ta có:
Lời giải:
+) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng.
+) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN)
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
Thật vậy:
Vậy với mọi nN*, ta có:
Xét 2 mệnh đề chứa biến
a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Trả lời:
P(n)
b. Với mọi P(n) sai;
3
9
27
81
243
4
7
10
13
16
c.
c. Dự đoán kết quả tổng quát của P(n)
§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
1. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau:
B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1
B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN)
Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1
2. Ví dụ áp dụng:
Chú ý: (SGK- 82)
HOẠT ĐỘNG NHÓM
Nhóm 1:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1)2=VP(1), đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy:
(GTQN)
Vậy với mọi nN*, ta có:
Nhóm 1:
Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)
Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy:
Vậy với mọi nN*, ta có:
Nhóm 2:
Nhóm 3:
Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng
Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là:
Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là :
Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có:
Vậy: