Bài 2. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
I. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN CẮT NHAU
 Hoạt động 1
Quan sát Hình 20.
a) Cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; R) có bao nhiêu
điểm chung.
b) So sánh độ dài đoạn thẳng OH và R.
 Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng a và đường tròn (O; R) có 2 điểm chung
b) Xét ΔΟΜΗ vuông tại H có:
OH là cạnh góc vuông; OM là cạnh huyền
Suy ra OH < OM, lại có OM = R
Vậy OH < R

 1. Định nghĩa 2.1:
- Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và
đường tròn cắt nhau.
- Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là
một giao điểm.
 2. Nhận xét 2.1:
Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường
thẳng a nhỏ hơn R và ngược lại.

 Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R), điểm H nằm trong (O; R), OH = d. Đường thẳng a
đi qua H và vuông góc với OH. Đường thẳng a có cắt đường tròn (O; R) hay không? Vì
sao?
 Hướng dẫn giải (Hình 21)
Vì điểm H nằm trong đường tròn (O; R) nên d < R.
Do đường thẳng OH ⊥ a tại điểm H nên khoảng cách từ điểm
O đến đường thẳng a bằng OH = d.
Suy ra khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a nhỏ hơn R.
Vậy đường thẳng a cắt (O; R).

 Luyện tập 01
Hãy chỉ ra một số hiện tượng trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường thẳng
và đường tròn cắt nhau.
 Hướng dẫn giải
Một số hiện tượng trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường thẳng và đường
tròn cắt nhau: biển báo giao thông (chẳng hạn biển cấm đường), mặt trời lặn, …

II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC NHAU
 Hoạt động 2
Trong bức ảnh ở Hình 22, đường ray và bánh xe gợi nên
hình ảnh đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Theo
em, đường thẳng và đường tròn đó có bao nhiêu điểm chung?
 Hướng dẫn giải
Đường thẳng và đường tròn có một điểm chung

 1. Định nghĩa 2.2:
Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng
và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.
Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là
tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.
 2. Nhận xét 2.2:
Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;
R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng
a bằng R và ngược lại (Hình 23)

 Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường thẳng BC có tiếp xúc với
đường tròn (A; АН) hay không? Vì sao?
 Hướng dẫn giải (Hình 24)
Vì AH ⊥ BC và H thuộc đường thẳng BC nên khoảng cách
từ điểm A đến đường thẳng BC bằng AH.
Do đó, khoảng cách từ tâm A của đường tròn (A; AH) đến
đường thẳng BC bằng bán kính AH của đường tròn.
Vậy đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn (A; AH).

 Luyện tập 02
Cho ∆ABC vuông tại A, AB = 3cm, BC = 5cm. Đường thẳng AB có tiếp xúc với
đường tròn (C;4cm) hay không? Vì sao?
 Hướng dẫn giải
Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore ta có:
AB2 + AC2 = BC2 suy ra 32 + AC2 = 52 suy ra AC = 4 cm
Vậy đường thẳng AB có tiếp xúc với đường tròn (C; 4cm)

III. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN KHÔNG GIAO NHAU
 Hoạt động 3
Trong Hình 25, cột thẳng đứng và biển quảng
cáo có dạng hình tròn gợi nên hình ảnh của đường
thẳng và đường tròn không giao nhau. Theo em,
đường thẳng và đường tròn không giao nhau thì
chúng có điểm chung hay không?
 Hướng dẫn giải
Đường thẳng và đường tròn không giao nhau
không có điểm chung
 1. Định nghĩa 2.3: Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta
nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

 Ví dụ 3: Cho điểm O và đường thẳng a thoả mãn khoảng cách từ O đến đường thẳng
a bằng 3cm . Giải thích vì sao đường thẳng a và đường tròn (O;2cm) không giao nhau.
 Hướng dẫn giải
Vì 3 > 2 nên khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn bán kính của đường
tròn (O;2cm).
Vậy đường thẳng a và đường tròn (O;2 cm) không giao nhau.

 Hoạt động 4
Quan sát Hình 26
a) Cho biết đường thẳng a và đường tròn (O; R) có bao nhiêu
điểm chung.
b) So sánh độ dài đoạn thẳng OH và R.
 Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không có điểm chung
b) OH > R
 2. Nhận xét 2.3: Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi
khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn R và ngược lại.

 Ví dụ 4: Trong Hình 27, cho bốn điểm O, A, B, C thẳng
hàng và đường thẳng m đi qua B, vuông góc với đường
thẳng OC. Nêu vị trí tương đối của đường thẳng m và ba
đường tròn cùng tâm O lần lượt đi qua các điểm A, B, C.
 Hướng dẫn giải (Hình 28)
Đặt OB = d. Khi đó, d là khoảng cách từ điểm O đến
đường thẳng m.
- Vì OA < OB và OB = d nên OA < d.
Vậy đường thẳng m và đường tròn (O; OA) không
giao nhau.
- Vì OB = d nên đường thẳng m và đường tròn (O; OB)
tiếp xúc nhau.
- Vì OC > OB và OB = d nên OC > d.
Vậy đường thẳng m và đường tròn (O; OC) cắt
nhau.

 Luyện tập 03
Cho điểm O và đường thẳng a thoả mãn khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng 4
cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng a và các đường tròn (O;3cm), (O;4cm),
(O;5cm).
 Hướng dẫn giải
Khoảng cách từ O đến đường thẳng a bằng 4cm suy ra d = 4ст
- Với đường tròn (O;3cm) ta có: 4 > 3 suy ra d > R
Vậy đường thẳng a và đường tròn (0;3cm) không giao nhau
- Với đường tròn (0; 4cm) ta có: 4 = 4 suy ra d = R
Vậy đường thẳng a và đường tròn (0; 4cm) tiếp xúc nhau
- Với đường tròn (0;5cm) ta có: 4 < 5 suy ra d < R
Vậy đường thẳng a và đường tròn (0;5cm) cắt nhau.

 3. Nhận xét 2.3: Ta có thể nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng a và đường
tròn (O; R) thông qua hệ thức giữa khoảng cách d từ tâm O đến đường thẳng a và
bán kính R được tóm tắt trong bảng sau:
Vị trí tương đối
của đường thẳng và đường tròn

Số điểm
chung

Hệ thức giữa
d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

2

d
Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

1

d=R

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

0

d>R

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
 Câu 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường
tròn cắt nhau
B. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường tròn
tiếp xúc nhau
C. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường
tròn không cắt nhau
D. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường
tròn trùng nhau

IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
 Câu 1. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường
tròn cắt nhau
B. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường tròn
tiếp xúc nhau
C. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường
tròn không cắt nhau
D. Đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì đường thẳng và đường
tròn trùng nhau

 Câu 2. Khi đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung thì:
A. đường thẳng và đường tròn trùng nhau tại điểm chung đó
B. đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó
C. đường thẳng và đường tròn không cắt nhau
D. đường thẳng đi qua tâm của đường tròn

 Câu 2. Khi đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung thì:
A. đường thẳng và đường tròn trùng nhau tại điểm chung đó
B. đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó
C. đường thẳng và đường tròn không cắt nhau
D. đường thẳng đi qua tâm của đường tròn
 Câu 3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi:
A. đường thẳng và đường tròn có một điểm chung
B. đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung
C. đường thẳng và đường tròn không có điểm chung
D. đường thẳng và đường tròn có vô số điểm chung

 Câu 2. Khi đường thẳng và đường tròn có 1 điểm chung thì:
A. đường thẳng và đường tròn trùng nhau tại điểm chung đó
B. đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó
C. đường thẳng và đường tròn không cắt nhau
D. đường thẳng đi qua tâm của đường tròn
 Câu 3. Đường thẳng và đường tròn không giao nhau khi:
A. đường thẳng và đường tròn có một điểm chung
B. đường thẳng và đường tròn có 2 điểm chung
C. đường thẳng và đường tròn không có điểm chung
D. đường thẳng và đường tròn có vô số điểm chung

 Câu 4. Phát biểu nào dưới đây là sai?
A. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau có một điểm chung.
B. Nếu đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì hoặc là chúng ti ếp xúc v ới
nhau hoặc là chúng cắt nhau.
C. Đường thẳng và đường tròn không cắt nhau thì không có điểm chung.
D. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì có nhiều hơn hai điểm chung

 Câu 4. Phát biểu nào dưới đây là sai?
A. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau có một điểm chung.
B. Nếu đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì hoặc là chúng ti ếp xúc v ới
nhau hoặc là chúng cắt nhau.
C. Đường thẳng và đường tròn không cắt nhau thì không có điểm chung.
D. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì có nhiều hơn hai điểm chung
 Câu 5. Cho (O; 5cm) và đường thẳng d. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a.
Điều kiện để a và O có điểm chung là:
A. Khoảng cách OH ≤ 5 cm
B. Khoảng cách OH = 5 cm
C. Khoảng cách OH > 5 cm
D. Khoảng cách OH < 5 cm

 Câu 4. Phát biểu nào dưới đây là sai?
A. Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc với nhau có một điểm chung.
B. Nếu đường thẳng và đường tròn có điểm chung thì hoặc là chúng ti ếp xúc v ới
nhau hoặc là chúng cắt nhau.
C. Đường thẳng và đường tròn không cắt nhau thì không có điểm chung.
D. Đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì có nhiều hơn hai điểm chung
 Câu 5. Cho (O; 5cm) và đường thẳng d. Gọi OH là khoảng cách từ tâm O đến a.
Điều kiện để a và O có điểm chung là:
A. Khoảng cách OH ≤ 5 cm
B. Khoảng cách OH = 5 cm
C. Khoảng cách OH > 5 cm
D. Khoảng cách OH < 5 cm

IV. BÀI TẬP TỰ LUẬN
 Bài 1 SKG trang 104. Đồng hồ treo tường trang
trí ở Hình 29 gợi nên vị trí tương đối của đường
thẳng và đường tròn. Quan sát Hình 29 và chỉ ra một
hình ảnh đường thẳng và đường tròn:
a) Cắt nhau
b) Tiếp xúc nhau
c) Không giao nhau
 Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng màu trắng cắt đường tròn màu cam.
b) Đường thẳng màu đen tiếp xúc với đường tròn màu xanh mạ
non.
c) Đường thẳng màu vàng không giao nhau với đường tròn màu đỏ.

 Bài 2 SKG trang 104. Trong Hình 30, mép ngoài cửa
ra vào có dạng một phần của đường tròn bán kính 1,6m.
Hãy tính chiều cao HK của cửa đó, biết AH = 0,9m.
 Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Pythagore vào ∆AOH vuông tại H có:
AO2 = OH2 + AH2 hay 1,62 = OH2 + 0,92
7
(m)
Suy ra OH =
2
7
≈ 2,9 m
Chiều cao HK của của đó là: HK = OK + OH = 1,6 +

2

 Bài 3 SKG trang 104. Trên mặt phẳng, một vật nhỏ chuyển động trên đường tròn
tâm O bán kính 2m, một vật nhỏ khác chuyển động trên đường thẳng a sao cho khoảng
cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng 3m. Hai vật nhỏ có bao giờ gặp nhau không?
 Hướng dẫn giải
Vì khoảng cách từ tâm O đường tròn đến đường thẳng a bằng 3m luôn lớn hơn bán
kính của đường tròn là 2m.
Nên đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Suy ra hai vật nhỏ này không bao giờ gặp nhau.

 Bài 4 SKG trang 104. Cho bốn điểm O, M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng sao
cho điểm M nằm giữa hai điểm O và N; điểm N nằm gi ữa hai đi ểm M và P. G ọi a, b, c
lần lượt là các đường thẳng đi qua M, N, P và vuông góc với đường thẳng OP. Xác định
vị trí tương đối của mỗi đường thẳng a, b, c và đường tròn (O; ON).
 Hướng dẫn giải
Xét (O; ON) có bán kính R = ON.
M nằm giữa O và N nên OM < ON hay
OM(O;ON).
N nằm trên đường tròn (O;ON) cho nên đường
thẳng b tiếp xúc đường tròn (O;ON).

N nằm giữa M và P nên OM < ON < OP hay
R(O;ON).

 Bài 5 SKG trang 104. Cho điểm O và đường thẳng a không đi qua O.
a) Vẽ điểm H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng a.
b) Từ đó, vẽ ba đường tròn tâm O lần lượt: không giao với đường thẳng a ti ếp xúc v ới
đường thẳng a cắt đường thẳng a tại hai điểm phân biệt.
 Hướng dẫn giải
a)

K

b) Đường tròn (O;OM) không giao với đường thẳng
a;
Đường tròn (O;OH) tiếp xúc với đường thẳng a;
Đường tròn (O;OK) cắt đường thẳng a tại hai