Cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng
một nhát cắt thẳng cắt cả hai cạnh đáy thì
được hai hình thang. Lật một trong hai
hình thang đó rồi ghép với hình thang còn
lại dọc theo các cạnh bên của hình thang
ban đầu (Hình 3.11).

A

D

M

B

C

N

Hãy giải thích tại sao hình tạo thành
cũng là một hình thang cân.

N'

Hình 3.11

M'

1 . HÌNH THANG , HÌNH THANG CÂN

 Khái niệm hình thang và hình thang cân
 Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

Đường cao

D

B

ên

- Đường vuông góc AH kẻ từ A đến CD gọi là
một đường cao của hình thang ABCD.

Đáy nhỏ

b
nh
Cạ

- Hai cạnh song song gọi là hai đáy, hai cạnh
còn lại là hai cạnh bên của hình thang

bê n

Trên Hình 3.12 là hình thang ABCD (AB // CD)
Cạn
h

•

A

H

Đáy lớn

Hình 3.12

C

1 . HÌNH THANG , HÌNH THANG CÂN

 Khái niệm hình thang và hình thang cân
 Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy
bằng nhau
•

A

Trên Hình 3.13 là hình thang cân ABCD (AB // CD)

B

- Hai góc A, B kề đáy nhỏ AB ,
- Hai góc C, D kề đáy lớn CD ,
D

Hình 3.13

C

1 . HÌNH THANG , HÌNH THANG CÂN

 Khái niệm hình thang và hình thang cân

Chứng minh rằng hai góc kề một cạnh bên của hình
thang bù nhau.
A

 Vì ABCD là hình thang (AB // CD) nên
( hai góc đồng vị )

1

B

Do (hai góc kề bù)
Suy ra :

D

Hình 3.14

C

1 . HÌNH THANG , HÌNH THANG CÂN

 Khái niệm hình thang và hình thang cân

1

Tính các góc của hình thang cân ABCD (AB // CD)
biết
A

 Hình thang cân ABCD (AB // CD) nên ta có:

= = 400
+ 00
Khi đó
Suy ra

+ +400+400 00
2= 3600 - 800 00

= 1400; = 1400 ; = 400

B

?

?

400

?
D

Hình 3.15

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về cạnh bên của hình thang cân.
Cho hình thang cân ABCD, AB // CD và AB < CD (H.3.16).
a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh
rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.
b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC.
A

B

a) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên
Ta có AH ⊥ DC, BI ⊥ DC suy ra AH // BI.
Do đó (hai góc so le trong).
Do đó
Xét ∆AHI và ∆IBA có : , cạnh AI chung và . Do đó
∆AHI = ∆IBA (c.g.c)
Suy ra AH = BI (hai cạnh tương ứng).

D

H

I
Hình 3.16

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về cạnh bên của hình thang cân.
Cho hình thang cân ABCD, AB // CD và AB < CD (H.3.16).
a) Từ A và B kẻ AH ⊥ DC, BI ⊥ DC, H ∈ CD, I ∈ CD. Chứng minh
rằng AH = BI bằng cách chứng minh ∆AHI = ∆IBA.
b) Chứng minh ∆AHD = ∆BIC, từ đó suy ra AD = BC.
A

B

b) Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên (1)
Xét ∆AHD vuông tại H có (2)
Tương tự, ∆BIC vuông tại I có (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra :
Xét ∆AHD và ∆BIC có: , AH = BI ,
Do đó ∆AHD = ∆BIC (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AD = BC (hai cạnh tương ứng).

D

H

I
Hình 3.16

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về cạnh bên của hình thang cân.

 Định lí 1 :
Trong hình thang cân hai cạnh bên bằng nhau
A

B

𝐴𝐷=𝐵𝐶
D

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về cạnh bên của hình thang cân.

2

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.18. Biết rằng
Chứng minh rằng AD = BC
A

 Ta có mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên

1

B

AB // CD.

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang.
Mặt khác hình thang ABCD có nên ABCD là
hình thang cân.
Do đó AD = BC (đpcm).

D

Hình 3.18

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về đường chéo của hình thang cân.
Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai đường chéo AC, BD (H.3.19).
Hãy chứng minh ∆ACD = ∆BDC.
Từ đó suy ra AC = BD.
A

B

 Vì ABCD là hình thang cân (AB // CD) nên
AD = BC;
Xét ∆ACD và ∆BDC có AD = BC và , cạnh CD
chung .Do đó ∆ACD = ∆BDC (c.g.c).
Suy ra AC = BD (hai góc tương ứng).

D

Hình 3.19

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về đường chéo của hình thang cân.

 Định lí 2 :
Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau
A

B

𝐴𝐶=𝐵𝐷
D

C

2 . TÍNH CHẤT CỦA HÌNH THANG CÂN

 Tính chất về đường chéo của hình thang cân.

3

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ một đường thẳng d song song
với BC, d cắt cạnh AB tại D và cắt cạnh AC tại E (Hình 3.20)
a) Tứ giác DECB là hình gì?
b) Chứng minh BE = CD.
A

a) Theo đề bài: d // BC nên DE // BC.
Suy ra DECB là hình thang.

d

D

E

Vì tam giác ABC cân tại A nên
Hình thang DECB có nên là hình thang cân.

B

b) Hình thang cân DECB có BE và CD là hai đường chéo.
Do đó BE = CD (đpcm).

Hình 3.20

C

3 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

 Định lí 3 :
Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng
nhau thì hình thang đó là hình thang cân
A

B

𝐴𝐶=𝐵𝐷
D

C

3 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
Cho hình thang ABCD (AB // CD) có

2

Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân
A

GT
KL

Hình thang ABCD , AB // CD

I

^
𝑨𝑪𝑫 = ^
𝑩𝑫𝑪

ABCD là hình thang cân

Hình thang ABCD có AC và BD cắt nhau tại I
Vì AB // CD nên
Mặt khác . Suy ra
Từ đó tam giác ICD và tam giác IAB cùng cân tại I
Vậy IC = ID , IA = IB , suy ra AC = IA + IC = IB + ID = BD
Theo định lí 3 , hình thang ABCD là hình thang cân

B

D

Hình 3.21

C

3 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
a) Vẽ hình thang có hai đường chéo bằng nhau theo các bước sau:
- Vẽ hai đường thẳng song song a, b. Trên a lấy hai điểm A, B.
- Vẽ hai cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho cung tròn tâm
A cắt b tại C; cung tròn tâm B cắt b tại D và hai đoạn thẳng AC, BD cắt
nhau. Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau.
b) Hình thang ABCD có là hình thang cân không? Vì sao?

D

b

A

a

C

B

3 . DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân.

Giải bài toán mở đầu.
A

 Ta cắt một mảnh giấy hình thang cân bằng một
nhát thẳng cắt cả hai cạnh đáy.
Lật một trong hai hình thang đó rồi ghép với
hình thang còn lại dọc theo các cạnh bên của
hình thang ban đầu nên (1)

D

Tứ giác ABCD là hình thang cân có AB // CD . Ta có : AN' // M'D
Suy ra (2)
Từ (1) , (2) suy ra .
Lại có nên MN'M'N là hình thang cân.

M

B

N'

C

N
Hình 3.11

M'

3.4

Hình thang trong Hình 3.23 có là hình thang cân
không? Vì sao?
A
1200

 Do ABCD là hình thang có AB // CD nên ta có:

Suy ra

0
^𝐴+ ^
𝐷=18 0
0 ^
0
0
0
^
𝐷=18 0 − 𝐴 ¿ 18 0 − 120 =6 0

Hình thang ABCD có nên không phải là hình
thang cân.

B

800
D

Hình 3.23

C

3.5

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc
với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai
đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu
EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

 Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Xét ∆DOE và ∆COE có : , EC = ED , cạnh OE chung
nên ∆DOE = ∆COE
Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng) (1)
Do đó tam giác OCD cân tại O nên
Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra
.Do đó

A
1

O

2
1

2
1

C

D

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB (2)
Ta có: AC = OA + OC và BD = OB + OD (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AC = BD nên ABCD là hình thang cân

1

B

E

3.6
•

Vẽ hình thang cân ABCD (AB // CD) biết đáy lớn CD dài 4 cm,
cạnh bên dài 2 cm và đường chéo dài 3 cm.

Vẽ cạnh CD = 4 cm.

• Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 2 cm)
và (C; 3 cm). Hai đường tròn này cắt nhau
tại điểm A.
• Dùng compa vẽ hai đường tròn (D; 3 cm)
và (C; 2 cm). Hai đường tròn này cắt nhau
tại điểm B
• Nối AB, AD, BC ta được hình thang cân
ABCD (như hình vẽ).

B

A
2cm

2cm
3cm

D

3cm
4cm

C

3.7


Hai tia phân giác của hai góc A, B của hình thang cân ABCD
(AB // CD) cắt nhau tại điểm E trên cạnh đáy CD.
Chứng minh rằng EC = ED.

Vì ABCD
; AD = BC

là

hình

thang

cân

nên

Theo đề bài, ta có AE, BE lần lượt là tia phân
giác của và
Suy ra ;
Mà nên
Xét tam giác EAB cân tại E nên EA = EB
Xét ∆ADE và ∆BCE có: EA = EB , , AD = BC , do đó ∆ADE = ∆BCE (c.g.c).
Suy ra EC = ED (hai cạnh tương ứng).

3.8

Hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD) có các đường thẳng
AD, BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại J.
Chứng minh rằng đường thẳng IJ là đường trung trực của
đoạn thẳng AB.
I

 Vì ABCD là hình thang cân nên ; , AD = BC ;
AC = BD
Tam giác ICD cân tại I nên IC = ID

B

J

Suy ra IC – BC = ID – AD, hay IB = IA
Do đó I cách đều A và B nên I nằm trên đường
trung trực của AB (1)

O

A

D

C

Xét ∆ABD và ∆BAC có: cạnh chung AB , ; AD = BC nên ∆ABD = ∆BAC
Suy ra . Do đó tam giác JAB cân tại J.
Do J cách đều A và B nên J nằm trên đường trung trực của AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra I, J cùng nằm trên đường thẳng IJ là đường trung trực của
đoạn thẳng AB.