§2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP
Ví dụ 1 : Hãy liệt kê các số gồm ba chữ số khác
nhau được lập từ các chữ số 1,2,3
Ta có :
Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự ba chữ số 1,2,3 được gọi là một hoán vị của ba số 1,2,3
 
Nhận xét:
Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
Tìm số các hoán vị bốn bạn An, Bình , Chi ,Dung?
Xếp vào vị trí số 1 có bốn lựa chọn.
Xếp vào vị trí số 2 có ba lựa chọn.
 Xếp vào vị trí số 3 có hai lựa chọn.
 Xếp vào vị trí số 4 có một lựa chọn.
I- Hoán vị
1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử ( n ≥ 1).Mỗi cách sắp thứ tự
n phần tử của A gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
2.Số các hoán vị.
 Số các cách xếp ( hoán vị) là:
 P4 = 4.3.2.1= 4! cách xếp thứ tự 4 bạn
Tổng quát:Tập A có n phần tử ( n ≥ 1)
Pn = n.(n-1)….2.1) = n! hoán vị.
Quy trình bấm phím tính 4 !
Bước 1:Nhấn phím số 4
Bước 2:Nhấn phím shift
Bước 3:Nhấn phím x!
Bước 4:Nhấn phím dấu =
Bước 5:Ghi kết quả 4! = 24
2. SỐ CÁC HOÁN VỊ
Định lý
Pn = n(n-1)…2.1= n!
Trong đó: Pn là số các hoán vị của n phần tử.
Tổng quát:Tập A có n phần tử ( n ≥ 1)

2. SỐ CÁC HOÁN VỊ
Ví dụ 1
Trong giờ học Quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm 10 người, được sắp xếp theo một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?
Mỗi kết quả của sự sắp xếp 10 học sinh theo một hàng dọc là một hoán vị của 10 học sinh đó.
Số hoán vị của 10 học sinh là: P10 = 10! (cách)
LG:
Chú ý: phân biệt hoán vị và số các hoán vị.
2.Số các hoán vị.
Tổng quát:Tập A có n phần tử ( n ≥ 1)
Số các hoán vị :Pn = n.(n-1)….2.1) = n! .
VD 2:
Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và tập hợp B= {0;1;2;3;4}.
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có:
a) 4 chữ số lấy từ A.
b) 5 chữ số lấy từ B.
Bài giải:
a)Mỗi số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lấy từ A là một hoán vị
các phần tử của A.
Số các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt lấy từ A là
P4 = 4! = 24
I- Hoán vị
Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Chú ý: phân biệt hoán vị và số các hoán vị.
1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử ( n ≥ 1).Mỗi cách sắp thứ tự
n phần tử của A gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
2.Số các hoán vị.
Tổng quát:Tập A có n phần tử ( n ≥ 1)
Số các hoán vị :Pn = n.(n-1)….2.1) = n! .
Bài 1:
Cho tập hợp A = {1;2;3;4} và tập hợp B = {0;1;2;3;4}.
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có:
a) 4 chữ số lấy từ A.
b) 5 chữ số lấy từ B.
Bài giải:
b)* Chọn a có 4 cách sau đó hoán vị bốn chữ số còn lại có 4!
Vậy có 4x4! = 96 số
2.Số các hoán vị.
Tổng quát:Tập A có n phần tử ( n ≥ 1)
Số các hoán vị :Pn = n.(n-1)….2.1) = n! .
VD 3:
HD:
Có 4 bạn nam và 2 bạn nữ.Có bao nhiêu cách xếp 6
bạn thành hàng dọc sao cho bốn bạn nam cạnh nhau.
Với 2 bạn nữ có 2! hoán vị. Với 4 bạn nam có 4! Hoán vị.
Các bạn nam cạnh nhau nên chỉ có thể có 3 tính huống đứng trên, đứng giữa hay đứng dưới hai bạn nữ. Vậy có 3.2!.4! = 154 cách xếp.

II. Chỉnh hợp
1. Định nghĩa
VD1. Một nhóm học sinh có 5 bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra một số cách phân công 3 bạn làm trực nhật: 1 bạn quét nhà, 1 bạn lau bảng, 1 bạn kê bàn ghế.
Giải:
Có thể có 1 số cách sau:
Mỗi cách lấy ra 3 phần tử từ 5 phần tử như trên gọi là một chỉnh hợp chập 3 của 5
1. Định nghĩa
II. CHỈNH HỢP

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh chợp chập k của n phần tử đã cho.
2. Định lý
II. CHỈNH HỢP
 
 
Nhấn AC để màn hình sạch sẽ.
Tìm chỉnh hợp chập 2 của 4
tức là tính:
Bước 1: nhấn số 4
Bước 2: nhấn phím shift
Bước 3: nhấn phím dấu nhân
Bước 4: nhấn phím số 2
Bước 5: nhấn phím dấu =
Bước 6: đọc và ghi kết quả
= 12
 
Định lý
-Gọi Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử thì:
Akn = n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1)
-Nhận xét: Quy ước 0! = 1
a) Ann = n.(n-1).(n-2)…..2.1 = Pn
b) Có
n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)(n-k).(n-k-1)...2.1
(n – k)! = (n-k).(n-k-1) ….. 2.1
n! = n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)(n-k).(n-k-1)...2.1
(n – k)! (n-k).(n-k-1) ….. 2.1
= n.(n-1).(n-2)…..(n – k + 1) = Akn

=> Akn =
Ví dụ 4
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau từ 1, 2, ...,9.
 
LG:
VD5: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Giải:
-Chọn 3 nam: có cách
-Chọn 3 nữ: có cách
-Chọn 3 cặp: có cách
III. TỔ HỢP
1. Định nghĩa
2. Số các tổ hợp
a. Định lí:
2. Số các tổ hợp
Định lí:
Chứng minh: Sgk (tr 52)
b. Vớ d?:
Ví dụ 1 : Một tổ có 10 người gồm 6 nam, 4 nữ. Cần lập đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi:
a) Bao nhiêu cách chọn?
b) Có bao nhiêu cách chọn trong đó có 3 nam, 2 nữ?
 
1. Định nghĩa
2. Số các tổ hợp
Định lí:
Ví dụ 1:
Một tổ có 10 người gồm 6 nam, 4 nữ. Cần lập đoàn đại biểu gồm 5 người. Hỏi:
a) Mỗi cách chọn là số tổ hợp chập 5 của 10
Vậy số cách chọn đoàn đại biểu
Giải:
a) Bao nhiêu cách chọn?
b) Có bao nhiêu cách chọn trong đó có 3 nam, 2 nữ?
1. Định nghĩa
2. Số các tổ hợp
Định lí:

Vì hai đội bất kỳ được gặp nhau một lần 2 nên số trận đấu phải tổ chức là số tổ hợp chập 2 của 16
Giải
Ví dụ 2 :
Có 16 đội tham gia thi đấu. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho 2 đội bất kỳ được gặp nhau 1 lần
1. Định nghĩa
2. Số các tổ hợp
Định lí:

a. Tính chất 1
b. Tính chất 2
a. Tính chất 1
b.Tính chất 2
=10
=15
Bài 1. Lớp 11A có 40 học sinh trong đó có 18 nữ. Chọn 5 học sinh tham gia văn nghệ chào mừng Ngày nhà giáo Việt Nam 20/11.
a) hỏi có bao nhiêu cách chọn.
b) hỏi có bao nhiêu cách chọn ra được 5 học sinh trong đó có đúng 4 học sinh nữ.
Bài 2. Tổ 2 của lớp 11A có 10 học sinh gồm 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 học sinh. Hỏi :
a) Có tất cả bao nhiêu cách lập ?
b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu trong đó có 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ ?
 
Lời giải
 
 
 
Cho tập A gồm n phần tử
Lấy n phần tử của A sắp thứ tự
Lấy k phần tử của A sắp thứ tự
Lấy k phần tử của A (không quan tâm đến thứ tự )
Hoán vị
Chỉnh hợp chập k của n
Số hoán vị
Số chỉnh hợp
Số tổ hợp
Pn = n!
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Tổ hợp chập k của n
***: Trong một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn
3 người vào ban thường vụ.
Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
b) Nếu chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư và Ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn ?
Hướng dẫn:
Giải:
Việc chọn 3 người trong 7 người để bầu ban thường vụ
là số tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.
b) Việc chọn 3 người trong 7 người để bầu vào ban thường vụ với
các chức vụ: BT, PBT, UVTV là số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử.
Bài 1. Cho tập A = { 2 ; 3 ;4 ; 5 ; 6 },có bao nhiêu số tự nhiên lập từ A trong mỗi trường hợp sau:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số gồm 3 chữ số khác nhau?
5 ! = 120 (số)
Hướng dẫn giải
b) Các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau là số chỉnh hợp
chập 3 của 5 số của tập hợp A.
Các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau là số các hoán vị
của 5 số của tập hợp A.
Ta có: P5 = 5 ! = 120 (số)
Bài 2: Một lớp gồm có 20 h/s nam , 10 h/s nữ. Có bao nhiêu cách
chọn học sinh trong mỗi trường hợp sau:
a) Chọn 10 h/s đi lao động ?
b) Chọn 4 h/s nam và 3 h/s nữ đi tham gia công tác xã hội ?
Hướng dẫn giải
a) Số cách chọn 10 h/s trong 30 h/s của lớp đi lao động là số tổ hợp chập 10 của 30 học sinh.
Ta có :
b) Số các chọn 4 h/s nam ,3 h/s nữ đi tham gia công tác xã hội là:
4 nam
3 nữ
Ta có :
 
 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Chọn ra 2 trong số 10 đội bóng để đá giao hữu. Số cách chọn là:
Câu 2: Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1; 2; 4; 5; 7; 8 ?
D. 7
A. 120 số
B. 360 số
C. 180 số
D. 15 số
Câu 3: Một hộp có 5 bi trắng, 8 bi đỏ. Có bao nhiêu cách chọn 4 bi từ hộp có 2 bi trắng, 2 bi đỏ?
A. cách
B. cách
C. cách
D. cách
4
2
3
3
Bài 3. Cho tập A = { 2 ; 3 ;4 ; 5 ; 6 },có bao nhiêu số tự nhiên lập từ A gồm 4 chữ số chia hết cho 2 ?
Hướng dẫn giải
Toán
S - C - C
Lý-Hóa
Ta có :
Số cách chọn 3 h/s thi giỏi Toán , 2 h/s thi giỏi lý và hóa (mỗi h/s chỉ thi một môn )
Bài 4: Một lớp gồm có 20 h/s nam , 10 h/s nữ. Có bao nhiêu cách
chọn 3 h/s thi giỏi Toán , 2 h/s thi giỏi lý và hóa ( mỗi học sinh chỉ thi một môn )
Hướng dẫn giải
Bài 5: Cho tập hợp A = { 1; 3; 4; 7; 8 } . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số
khác nhau từ tập A, sao cho:
Số tạo thành là số chẵn.
Số tạo thành là một số không có chữ số 4.
Số tạo thành là một số nhỏ hơn 378.
Giải:
c) n nhỏ hơn 378
Ta xét 2 trường hợp:
a1= 1 : có 1 cách chọn
Chọn vào 2 vị trí còn lại với 4 chữ
số còn lại là số chỉnh hợp chập 2
của 4 phần tử
a1= 3 : có 1 cách chọn
Nếu a2= 7 : có 1 cách chọn
Chọn a3 : có 3 cách chọn
Vậy có tất cả: 12 + 2 + 6 = 20 số