TOÁN HỌC 11

BÀI 2: HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP

GV: ĐINH HƯƠNG GIANG
NỘI DUNG BÀI HỌC

I. HOÁN VỊ

II. CHỈNH HỢP

III.

TỔ HỢP
Phần I.

HOÁN

VỊ
HOÁN VỊ

HOÁN

VỊ

ĐỔI

TRÍ

SẮP XẾP VỊ TRÍ

VÍ DỤ 1
Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực hiện đá luân lưu 11 m. Một đội đã chọn được năm cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11 m. Hãy nêu 3 cách sắp xếp đá phạt.
- Giả thiết tên của năm cầu thủ được chọn là A,B,C,D,E

- Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân lưu như sau:

Cách 1: ABCDE

Cách 2: ABDEC

Cách 3: ABCED

_HƯỚNG DẪN GIẢI_
1. Định nghĩa

*HOÁN VỊ
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một _hoán vị _của n phần tử đó Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3
Hãy liệt kê tất cả các số gồm ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3
?1

Các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3 là :

123 ;

132 ;

213 ;

231 ;

312 ;

321

_HƯỚNG DẪN GIẢI_

Nhận xét
* Hai hoán vị của _n_ phần tử chỉ khác nhau ở _thứ tự sắp xếp._
_Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a,b,c là khác nhau._
2. Số các hoán vị

*HOÁN VỊ
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ?
A

B

C

D
_HƯỚNG DẪN GIẢI_

_Để đơn giản, ta viết A, B, C, D thay cho tên của bốn bạn An, Bình, Chi, Dung_

Cách thứ nhất: Liệt kê

Cách sắp xếp chỗ ngồi được liệt kê như sau:

_ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB_

_BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA_

_CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA_

_DABC, DABC, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA_

_Như vậy, có 24 cách , mỗi cách cho ta một hoán vị tên của bốn bạn và ngược lại_
2. Số các hoán vị

*HOÁN VỊ
Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi vào một bàn học gồm bốn chỗ ?
A

B

C

D
_HƯỚNG DẪN GIẢI_

_Để đơn giản, ta viết A, B, C, D thay cho tên của bốn bạn An, Bình, Chi, Dung_

Cách thứ hai: Dùng quy tắc nhân

_- Có 4 cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất_

_- Sau khi đã chọn một bạn, có 3 cách chọn một trong ba bạn còn lại để xếp vào chỗ thứ hai_
_- Sau khi đã chọn hai bạn, có 2 cách chọn một trong hai bạn còn lại để xếp vào chỗ thứ ba_

_Bạn còn lại xếp vào chỗ thứ tư, có 1 cách_

_Theo quy tắc nhân, ta có số cách sắp xếp chỗ ngồi là: 4.3.2.1= 24 (cách)_
2. Số các hoán vị

*HOÁN VỊ
Kí hiệu là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lí sau đây.

Định lí:

= _n(n-1)...2.1_ Định lí: = _n(n-1)...2.1_
_Chứng minh định lí: _
Để lập được một hoán vị của n phần tử, tiến hành như sau:

- Chọn _một phần tử _cho _vị trí thứ nhất_. Có _n cách_

- Sau khi chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất, có _n-1 cách _chọn một phần tử cho _vị trí thứ hai_

- Sau khi chọn _n-2 phần tử _cho _n-2 vị trí đầu tiên_, có _2 cách _chọn một trong hai phần tử còn lại

- .............

- _Phần tử còn lại _sau cùng được xếp vào _vị trí thứ n_

Như vậy, _theo quy tắc nhân_, có n(n-1)...2.1 kết quả sắp xếp thứ tự _n_ phần tử đã cho

_Vậy_ = _n(n-1)...2.1_

Chú ý
* Kí hiệu _n(n-1)...2.1 _là n! _(đọc là n giai thừa), _ta có:
=_ n!_
_Ví dụ: _

_6! = _

_6.5.4.3.2.1 _

_4! = _

_4.3.2.1_

_= 720 _

_= 24 _

Cách bấm máy tính CASIO
Ví dụ:
Cách 1:
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
Cách 2: _Sử dụng máy tính cầm tay_
_6! = ?_
*Bước 1: nhấn phím số 6 *Bước 2: nhấn phím SHIFT + *Bước 3: nhấn phím =
Bước 1

Bước 3

Bước 2

?2 : Luyện tập sử dụng máy tính CASIO
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho A= {a; b; c; d; e; g}. Số hoán vị của sáu phần tử của A là:
A.420 B.720 C.600 D.500
Hướng dẫn giải:

Đáp án : B

Số hoán vị của 6 phần tử của A là 6! = 720 (cách)

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 2: Trong giờ học môn Giáo dục quốc phòng, một tiểu đội học sinh gồm mười người được xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Hướng dẫn giải:

Mỗi cách sắp xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 10 phần tử

 Có tất cả: 10! = 3628800 (cách)

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 3: Một tổ học sinh có 5 nam và 5 nữ xếp thành 1 hàng dọc sao cho không có học sinh cùng giới tính đứng kề nhau. Số cách xếp là:
A.5!.5! B.2.(5!)2 C.10! D.2.5!
Trường hợp 1. Nam đứng đầu hàng.

Xếp 5 bạn nam vào 5 vị trí 1; 3; 5; 7; 9 có 5! Cách xếp.

Xếp 5 bạn nữ vào 5 vị trí 2; 4; 6; 8; 10 có 5! Cách xếp.

⇒ có 5!. 5! Cách xép trong trường hợp này.

Trường hợp 2. Nữ đứng đầu hàng.

Tương tự trường hợp 1; có 5!. 5! Cách xếp

 Vậy số cách sắp xếp cần tìm 2.(5!)2 (cách)

Hướng dẫn giải: _Theo bài ra, ta thấy cách sắp xếp chính là việc nam nữ đứng xen kẽ nhau._

_Như vậy sẽ có hai trường hợp, hoặc là bạn nam đứng đầu hàng hoặc là bạn nữ đứng đầu hàng_.