KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
THPT AN MINH
1. Các bứơc khảo sát hàm số y=f(x)
Tập xác định: (nhận định thêm về hàm số chẳn, hàm số lẻ,hàm số tuần hoàn)
ii) Sự biến thiên:
2) Tìm giới hạn ,tiệm cận ( nếu có )
3) Lập BBT
iii) Đồ thị:
Tìm giao điểm (nếu có) của đồ thị với trục tung và trục hoành các điểm phụ và vẽ đồ thị đi qua các điểm đã tìm.
1) Chiều biến thiên : ( Tính y’, kháo sát dấu y’ ) xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến
4) Cực trị ( nếu có )
5)Điểm uốn có hoành độ là nghiệm của đạo hàm cấp 2
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y= 2x3-3x2+1
Giải:
TXĐ: D=R
c) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=1, cực tiểu tại x=1;yCT=0.
Đồ thị không có tiệm cận
2. Hàm số bậc 3: y=ax3+bx2+cx+d (a0)
a) Giới hạn:
b) Chiều biến thiên
2) Sự biến thiên:
y’ = 6x2-6x, y’=0  x=0 hoặc x=1.
y’ >0 trên (-;0) và (1; +), y’ <0 trên (0;1)
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2
x - 0 1 +
y’ + 0 - 0 +
y - 1 0 +
d)Bảng biến thiên
y’’=12x-6 ,y’’=0  x= 1/2
e) điểm uốn
I(1/2;1/2)
3) Đồ thị: y=0 (x-1)2 (2x+1)=0  x=1 , x=-1/2.
x=0 ,y = 1. (1;0) và(-1/2;0) là giao điểm của đồ thị với
trục hoành và.(0;1) giao điểm của đồ thị với trục tung.
Điểm uốn
Ví dụ2: Khảo sát hàm số y = -x3+3x2-3x+2
Giải:
2)Sự biến thiên:
x - 1 +
y’ - 0 -
y
+
-
d)Bảng biến thiên
c) Giới hạn:
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
a) Chiều biến thiên: y’ = -3(x2-2x+1) = -3(x-1)2  y’ ≤ 0
b) Cực trị: Hàm số không có cực trị
dấu ‘= ‘ xảy ra khi x=1  hàm số nghịch biến trên R.
1)TXĐ :R
y’’=-6(x-1) ,y’’=0 x=1
Đ.uốn
I(1;1)
e) điểm uốn
3)Đồ thị: Giao điểm với trục Ox: (2;0)
Giao điểm với trục Oy: (0;2)
Tiềp tuyến tại điểm uốn(1;1) là : y=1
Chú ý:
y
x
Tóm tắt: y =ax3+bx2+cx+d (a 0)
Tập xác định R.
Đồ thị luôn có 1 điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. (Chứng minh xem như bài tập)
y’= 3ax2+2bx+c .
Nếu y’=0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đại
và cực tiểu và đồ thị có hai dạng sau:
a>0
a<0
Nếu y’ =0 có nghiệm kép, hàm số đơn điệu, tiếp tuyến tại điểm uốn cùng phương với trục hoành. Đồ thị có dạng
sau:
Nếu y’ =0 vô nghiệm, hàm số đơn điệu. Đồ thị có dạng sau:
Câu 2
2) Hàm số y =ax4+bx2+c (a0)
Ví dụ1: Khảo sát hàm số: y= x4-2x2-3
1) Tập xác định: D=R, hàm số chẳn
2) Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên: y’=4x3-4x , y’ = 0 x=-1,x=0,x=1
y’ > 0 trên (-1;0)và (1;+) , y’ < 0 trên (0;1) và (-;-1)
b) Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x=  1,yCT = -4 và
đạt cực đai tại x = 0 ,yCĐ = -3.
c) Giới hạn:
Đồ thị không có tiệm cận:
x - -1 0 1 +
y’ - 0 + 0 - 0 +
y + -3 +
-4 -4

d) Bảng Biến Thiên:
3) Đồ thị : Đồ thị nhận Oy là trục đối xứng và cắt oy tại
(0;-3) . ĐT cắt Ox tai hai điểm
Ví dụ 2: Khảo sát hàm số:
Giải:
TXĐ : D=R , hàm số chẳn.
Sự biến thiên:
a)Chiều biến thiên: y’=-2x3-2x=-2x(x2+1)=0x=0.
Y’ > 0 trên (-;0) , y’ < 0 trên (0;+ )
b) Cực trị: Điểm cực đại x = 0; yCĐ=3/2.
c) Giới hạn:
Đồ thị không có tiệm cận
BBT
x - 0 +
y’ + 0 -
y
3/2
-
-
3)Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đố xứng ; y = 0  x= 1
ĐT cắt Ox tại (-1; 0) và (1;0)
Tóm tắt: y =ax4+bx2+c (a0)
y’=0 có
3 nghiệm
Phân biệt
y’=0 có
1 nghiệm
a>0
a<0
Câu 3
4.Hàm số :
Ví dụ 1: Khảo sát hàm số:
Giải:i) Tập xác định:
2) Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
y’<0 ,x  -1/2 .Hàm số nghịch biến trên các
Khoảng (-;-1/2) và (-1/2;+).
b) Cực trị : hàm số không có cực trị.
c) Giới hạn:
Đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng
Đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang
d) Bảng biến thiên
x - -1/2 +
y’ - -
y
-1/2
-
+
-1/2
3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại A(0;2), cắt trục hoành
Tại B(2;0).
Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2)
làm tâm đối xứng.
Ví dụ 2) Khảo sát hàm số:
Giải:
1) Tập xác định: R\{-1}
2) Sự biến thiên:
a) Chiều biến thiên:
y’>0 trên (-;-1) và (-1; +)
b) Cực trị: hàm số không có cực trị.
c) Giới hạn:
Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1
Đồ thị có tiệm cận ngang: y = 2
d) Bảng biến thiên:
x - -1 + 
y’ + +
y
2
+ 
-
2
3) Đồ thị: Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-1).
Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1/2;0).
Tóm tắt:
Nếu ad –bc= 0 thì y = a /c
Nếu ad-bc  0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c.
Tiệm cận ngang: y = a/c
Giao điểm của hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứng
TXĐ:
Đồ thị có hai dạng sau:
ad-bc>0
ad-bc<0
Câu 2
Câu 4
Câu 5
-
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9