TRƯỜNG THPT BÁN CÔNG ĐỊNH QUÁN
Bài 4
( tiết 36 )
5. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Định lí.
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đường thẳng  cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường thẳng  đó gọi là đuờng vuông góc chung của a và b.
Chứng minh :
a’
 Gọi (Q) là mp qua b và song song a
 Gọi a’ là hình chiếu của a lên (Q)
Vì a // (Q)  a’ // a  a’  b = N
 Gọi  là đi qua N và  với (Q)
   (R)=(a,a’)    a = M
 Giả sử ’ cắt a, b và  với a, b
’  (Q)
  (Q)
Trái với gt a chéo b. vậy có một đuờng thẳng  duy nhất
N
b
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Định nghĩa.
Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, đường vuông góc chung của chúng cắt a và b lần lượt tại M và N
 Đoạn MN gọi là đoạn vuông góc chung của a và b
 Độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Tính chất
kí hiệu d(a;b) = MN
1) d(a;b) = d(a;(Q)) = d(b;(P))
Gọi (P) và (Q) là 2 mp song song lần lượt chứa a và b
Ta có:
2) d(a;b) = d((P);(Q))
3) d(a;b)  AB với A  a và B  b
7. Các ví dụ
Ví dụ 1:
Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. H là trung điểm BC. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của cặp đường thẳng :
a) OA và BC
b) AH và OC
Giải
a) OA  OB (gt)
OA  OC (gt)
 OA  OH (1)
 OH  BC (2)
Từ (1) và (2)  OH là đoạn vuông góc chung của OA và BC
OBC vuông cân tại O
b) Hãy XĐ và tính độ dài đoạn  chung
của cặp đường thẳng : AH và OC
 Gọi K là trung điểm OB
 Gọi OL là đường cao OAK (1)
 Qua L kẻ đường thẳng song song OC cắt AH tại E
 Qua E kẻ đường thẳng song song LO cắt OC tại F
HK // OC
OC  (OAB)
 HK  OL (2)
Từ (1) và (2)  OL  (AHK)  OL  AH
Vì EF // OL  EF  AH (3)
OC  (OAB)  OC  OL
Vì EF // LO  EF  OC (4)
Từ (3) và (4)  EF là đường vuông góc chung của AH và OC
Ta có OL.AK = OK.OA
Trong  OAK vuông
Ta có
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
a) SC và BD
b) AC và SD
Giải:
S
O
BD  AC (gt)
BD  SA (gt)
Trong mp(SAC) kẻ OH  SC (1)
OH  (SAC)
 BD  OH (2)
Từ (1) và (2) OH là đường vuông góc chung
Vậy d(SC,BD) = OH
a) Gọi O = AC  BD
 SAC vuông tại A
 Do ABCD là hình vuông cạnh a
Mặt khác OHC vuông tại H
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD
N
 Kẻ Dt // AC  AC // (S,Dt)
 d(AC,SD) = d(AC;(S,Dt)) (1)
 Kẻ AM  Dt
Dt  SA
 Trong mp(SAM) kẻ AN  SM
Vì AN  (SAM)  AN  Dt
 AN  (S,Dt)
 d(A;(S,Dt)) = AN (2)
từ (1) và (2)  d(AC,SD) = AN