hình học 11
Giáo viên : Đào văn thắng
chào mừng các thầy cô giáo
và các em học sinh
Năm học 2007-2008
Bài 4: Khoảng cách
(Tiết 35)
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng
Trong không gian cho một điểm O và đường thẳng a.
a
H
M
O
 Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm O tíi ®­êng th¼ng a (t¹i H) lµ bÐ nhÊt so víi kho¶ng c¸ch tõ O tíi mäi ®iÓm thuéc a
Hãy nêu định nghĩa khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a trong mặt phẳng ?
+ Kẻ OH ? a; H ? a
? d(O,a) = OH
Xét điểm M bất kỳ thuộc a. Hãy so sánh OH và OM ?
+ ? M ? a ? OM ? OH
+ O ? a ? OH = 0
2. Khoảng cách từ một điểm tới môt mặt phẳng
Trong không gian cho một mp(P) và điểm O
? OH ? OM
P
H
O
+ Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O trªn mp(P)
? d(O, (P)) = OH
+ Xét M bất kỳ, M ? (P)
Hãy so sánh
OM và OH ?
+ Nếu M ? H ? OM là đường xiên xuất phát từ O.
HM là hình chiếu của đường xiên OM
M
Làm thế nào để tính được khoảng cách từ "bóng điện" đến mặt phẳng nền nhà ?
P
H
O
N
M
2. Khoảng cách từ một điểm tới môt mặt phẳng
+ Xét N ? (P): N ? H
Nếu OM = ON ? HM ? HN
OM > ON ? HM ? HN
Trắc nghiệm
=
>
3. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
a
A
B
A`
B`
+ Trong không gian cho đường thẳng a song song với mp(P)
Ta đã gặp những bài toán nào ?
+ Cho A?B? a. Gọi A`, B` lần lượt là hình chiếu của A, B trên mp(P) ? AA`B`B là hình chữ nhật
? AA` = BB`
Bài toán: Cho A ? B ? a. Gọi A` và B` lần lượt là hình chiếu của A, B trên mp(P). Hãy so sánh AA` và BB` ?
+ Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên a tới mp(P) luôn không đổi.
Qua bài toán em có kết luận gì ?
? d(a, (P)) = AA`
Xét ? M ? a
? N ? (P)
So sánh MN và AA` ?
+ ? M ? a
? N ? (P)
MN ? AA`
Ta thấy:
- AA` // BB` ? A, A`, B`, B đồng phẳng
- a // (P) ? AB // A`B`; AA` ? A`B`
M
N
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ Trong không gian cho mp(P) // mp(Q)
Cho A,B?(P) gọi A`, B` lần lượt là hình chiếu của A, B lên mp(Q)
A
B
A`
B`
Hãy nhận xét AA` và BB` ?
? AA` = BB`
Em có nhận xét gì về khoảng cách từ một điểm trên mp(P) tới mp(Q) ?
? Khoảng cách từ một điểm trên mp(P) tới mp(Q) không phụ thuộc vào vị trí điểm đó
?d((P);(Q))= d(M;(Q)) ? M ? (P)
Hãy so sánh
KN và AA` ?
KN ? AA`
+ Xét K ? (P) và
N ? (Q)
Trắc nghiệm
.
.
K
N
N
a
a`
b
5. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
+ Cho 2 đường thẳng a và b bất kỳ trong không gian với các vị trí tương đối của a, b. Có bao nhiêu đường vuông góc chung cắt cả hai đường thẳng ?
M
- a cắt b ? Có duy nhất
- a ? b ? Có vô số
- a / /b ? Có vô số
- a chéo b ? ?
Định lý: Cho hai đường thẳng a chéo b luôn có duy nhất đường thẳng ? cắt a và b. Và ? ? a, ? ? b.
(? là đường vuông góc chung của a và b)
Chứng minh:
Gọi (P) là mp chứa b. (P) // a
Hãy nhận xét vị trí tương đối của a` và b?
+ a` và b sẽ cắt nhau tại M
Em có nhận xét gì về vị trí tương đối của ? với a` ?,
? với b ? và ? với a ?
+ Dựng đường thẳng ? qua M và ? ? mp(P)
? ? ? (Q) với (Q) là mặt phẳng chứa a và a`
+ ? ? a`, ? cắt a` tại M.
+ ? ? b, ? cắt b tại M
+ ? ? a, ? cắt a tại N
Gọi a` là hình chiếu vuông góc của a trên (P)
Vậy ? là đường thẳng cắt cả a và b; vuông góc với cả a và b

+ Chứng minh ? là duy nhất
N`
Chứng minh bằng phương pháp gì ?
Chứng minh bằng phản chứng
Giả sử tồn tại đường thẳng ?` ? ?.
?Mâu thuẫn vì a chéo b ? ?` ? ?
? ? là duy nhất
MN gọi là đường vuông góc chung của a và b
Kết luận
?` cắt cả a và b tại N` và M`, ?` ? a ? ?` ? a`; ?` ? b
??` // ? ? M,N,N`,M` đồng phẳng
?`
M`
Kiến thức trọng tâm
1. Cách xác định K/C từ điểm O tới đường thẳng a:
2. Cách xác định K/C từ điểm O tới mp(P):
3. Cách xác định K/C từ đường thẳng a song song với
mp(P) tới mp(P):
4. Cách xác định K/C từ mp(P)// mp(Q) tới mp(Q):
5. Cách dựng đường vuông góc chung MN của
hai đường thẳng a và b chéo nhau:
Bài tập
Cho hình chóp tam giác đều ABCD. Cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a
+ Khoảng cách từ A tới mp(BCD) là:
1)
2)
3)
A
C
B
D
M
a
a