Sở GD - ĐT Bắc Ninh
trường thpt gia bình số 1
Tiết: 31
Bài giảng: Khoảng cách và góc

Mục tiêu
1. Kiến thức
Giúp học sinh nắm vững công thức tính
khoảng cách từ một điểm đến đường thảng
2. Kĩ năng
Học sinh tính được khoảng cách từ một
điểm đến đường thẳng
Học sinh viết được phương trình đường
phân giác trong, ngoài tại một đỉnh của
tam giác khi biết phương trình hai cạnh.

Chúng ta đã biết khi cho một đường thẳng và một điểm M, nếu là hình chiếu vuông góc của M trên thì khoảng cách từ M đến chính là độ dài đoạn
Hôm nay, bằng cách gắn
hệ trục toạ độ vào mặt phẳng
này chúng ta sẽ đi
tìm công thức tính
khoảng cách từ M tới
và một số những
ứng dụng của nó.

KHOảNG CáCH Và GóC
1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
a. công thức
Bài toán: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. Hãy tính khoảng cách d(M, ) từ M( ) đến đường thẳng
Bài toán: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0. Hãy tính khoảng cách d(M, ) từ M( ) đến đường thẳng
Bài giải

Gọi là hình chiếu của M trên .
Khi đó ta có
và (1).
Từ đó suy ra:

(2)
Mặt khác, nếu gọi ( ) là toạ độ của điểm thì từ (1) ta có hay


Vì nằm trên nên
Từ đó suy ra:
Thay giá trị của k và (2) ta có:



Ví dụ:
1 Tính khoảng cách từ M(1;2) đến đường thẳng
: x + 2y - 3 = 0.

2 Cho M(5;-1) và Tính

Bài giải
1 Ta có:

2 Do nên đi qua (7;-4) và nhận
làm vectơ pháp tuyến.Do đó có phương trình tổng quát là: 3x + 2y - 13 = 0. Vậy

b. Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng : ax + by +c = 0 và
M( ) . Gọi là hình chiếu của M trên .
Khi đó, ta có với

Một cách tương tự nếu có là hình chiếu
của N trên thì ta cũng có với
Hãy cho biết hương của hai vectơ và khi
M và N nằm về
cùng một nửa mặt
phẳng bờ và khi
chúng nằm về
hai nửa mặt
phẳng bờ
Hai điểm M và N nằm về cùng một nửa mặt
phẳng bờ khi và chỉ khi hai vectơ và
cùng hướng.
Hai điểm M và N nằm về hai nửa mặt phẳng bờ
khi và chỉ khi hai vectơ và ngược hướng.

Từ kết quả trên có nhận xét gì về vị trí của hai
điểm M, N đồi với khi và cung dấu, trái
dấu?
Hai điểm M, N nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ khi và chỉ khi


Hai điểm M, N nằm về hai nửa mặt phẳng bờ khi và chỉ khi

c. Phương trình phân giác cuả góc tạo bởi hai đường thẳng.
Bài toán: Cho hai đương thẳng cắt nhau, có phương trình: ,
Chứng minh rằng phương trình
hai đường phân giác của góc
tạo bởi hai đường thẳng đó có dạng

Hãy cho biết khi nào M thuộc đường
phân giác của góc tạo bởi và ?
M thuộc đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cặt nhau và khi và chỉ khi
(*)
Giả sử M(x;y), hãy tính
d(M; ) và d(M; )
và từ đó suy ra kết quả
của bài toán?
Ta có:

và


Nên


Hay là
Ví dụ: Cho tam giác ABC với phương trình các cạnh là AB:3x - 4y = 0, BC: 4x - 3y = 0, và CA: 5x + 12y - 101 = 0.
Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác;
Viết phương trình đường phân giác trong, ngoài ứng với đỉnh A của tam giác.
Bài giải
Ta có A = AB AC nên toạ độ của A là
nghiệm của hệ giải hệ có

vậy A( ). Một cách tương tự ta có
B = AB BC nên giải hệ ta được
B(0;0).
C = AC BC giải hệ ta được
C( )
b. Gợi ý: Dựa vào kết quả mà ta đã có về phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau. Ta viết được phương trình đương phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác tại đỉnh A. Như vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để phân biệt được đâu là phân giác trong, đâu là phân giác ngoài?
Làm thế nào để phân biệt được đâu là phân giác trong, đâu là phân giác ngoài của góc A?




Hãy viết phương trình các đường phân giác của đỉnh A của tam giác?
Bài giải
b. Phương trình đường phân giác trong và ngoài
của góc A là: , hay là

:14x - 112y + 505 = 0.
: 64x + 8y - 505 = 0.
Nhận thây B và C nằm về hai nửa mặt phẳng bờ nên là phân giác trong, là phân giác ngoài.
Tổng kết
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm
M( ) tởi đường thẳng :ax + by + c = 0
là

2. Hai điểm M, N nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ khi và chỉ khi
Hai điểm M, N nằm về hai nửa mặt phẳng bờ khi và chỉ khi

3. phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng
, cắt nhau là:





Bài tập về nhà
1. Ôn tập lại toàn bộ phần lý thuyết.
2. Làm các bài tập 18 và 20 sách giáo khoa.
Gợi ý bài 20
Gợi ý bài 20