Khoảng cách (T2)
c
1. Định nghĩa:
III. Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đường thẳng c cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
b) Nếu đường vuông góc chung c cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b.



b

a



b

a
2. Cỏch xỏc d?nh du?ng vuụng gúc chung gi?a hai du?ng th?ng chộo nhau:
D?ng mp (P) ch?a b v� song song v?i a.
Từ điểm M trên a dựng MM’ vuông góc với (P).
Trong (P), từ M’ dựng a’//a, cắt b tại B.
Trong mp (a,a`), t? B d?ng du?ng th?ng song song v?i MM` c?t a t?i A. Du?ng th?ng AB l� du?ng vuụng gúc chung c?a a v� b.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
A. Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu d vuông góc với a và d vuông góc với b
B. Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung d của a và b luôn vuông góc với (P)
C. Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì d là giao tuyến của hai mặt phẳng (a,d) và (b,d)
D. Đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia
A
B
a
b

D. Đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

Với điều kiện nào của a và b thì mệnh đề trên là đúng?

a vuông góc b
A
B
Dựng mặt phẳng (P) chứa b, vuông góc với a
Gọi A là giao điểm của a và (P), từ A kẻ đường thẳng vuông góc với b cắt b tại B
AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b
a
b
Chú ý: Nếu a vuông góc với b ta dựng đường vuông góc chung của a và b như sau:
3. Nhận xét
a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đườngthẳng đó và mặt
phẳng song song với nó,
chứa đường thẳng còn lại.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song lần lượt
chứa hai đường thẳng đó.
c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau là bé nhất so với khoảng cách giữa
hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai đường
thẳng đó.
Ví dụ :Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a,SA?(ABCD);SA=a.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
BD và SC
SB và AD ;
Tính khoảng cách SB và AD
Vì AH là đường cao của tam giác
vuông cân SAB nên :
Ta có : AD ?(SBA). Kẻ AH ? SB
Khi đó : AH là đường vuông góc
chung của SB và AD.
Vậy : d(AD ; SB ) = AH
Từ đó :
H
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng :
BD và SC
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
Ta có : BD?(SAC) tại O
Khi đó : OK là đường vuông góc chung
của BD và SC
Trong (SAC), kẻ OK? SC
Vậy : d(BD; SC) = OK
O
K
I
Gọi AI là đường cao trong tam giác
vuông SAC.
Ta có :
Nên :
Vậy :