CHƯƠNG III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
GIÁO VIÊN : Hoaøng Sôn Haûi
KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
KHOẢNG CÁCH
1)Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Mặt Phẳng :
PP1 :+)Tìm mp  qua M
+)   = 
+)Dựng MH   tại H  MH = d(M; ) .
PP2:Giả sử đã có MH tại H
Ta cần tính d(N, )
*)Nếu MN//=>d(M,)=d(N,)
Nếu MN=I;dựng NK//MH;KIH
=>NK=>d(N,)=NK
M
2) Khoảng Cách Từ 1 Điểm Đến 1 Đường Thẳng :
PP1 :+) Dựng mp qua M ; d
+)Tìm H = d
+) d(M;d)=MH
C2:d(A,BC)=2SABC/BC
PP2 :+)Dựng mp(M,d)=
+)Trong  ;dựng MH d tại H  MH = d(M;d) = MH
PP 3 : dùng cách tính đ/cao tam giác ,đ/giác .
3)a//=>d(a; ) = d(M;) ; Ma //
4)d(; ) = d(M; ) ;M //
5)a//b=>d(a;b) = d(M;b) ; M a// b
PP TÌM ĐỌAN VUÔNG GÓC CHUNG CỦA 2 ĐT
CHÉO NHAU:
LOẠI I : a   tại O ; b 
Dựng OHb tại HOH là đoạn vuông góc chung.
a
Loại II: Biết a  b
Dựng a ,chứa b dạng I
2/119.SABC có SA(ABC);H,K trực tâm ABC;SBC.cm:
a.AH,SK,BC đồng qui
Gọi I=AHBC
BCAI(tc tr.tâm);BCSA vì SA..
=>BC(SAI)=>BCSI
=>SI là đcao SBC=>KSI
=>BC,AH,SK đồng qui
b.SC(BHK);HK(SBC)
Ta có:SA(ABC)
=>(SAC)(SBC) theo giao tuyến AC
b.SC(BHK);HK(SBC)
Ta có:SA(ABC)
=>(SAC)(SBC) theo giao tuyến AC
Mà BH(ABC);BHAC
=>BH(SAC)=>BHSC (1)
Ta cũng có BKSC (2)
=>SC(BHK)
Mà BC(SAI) ; HK(SAI)=>BC HK
Do HK(BHK)=>HKSC
Vậy HK(SBC)
c.Tìm đoạn v.góc chung of SA và BC
8/120.ABCD đều, cạnh bằng a.Tính k/cách giữa 2 cạnh đối
Gọi H,K lần lượt trung điểm CD,AB
=>CDAH;CDBH(tc tam giác đều)
=>CD (ABH)=>CDHK
Cmtt ta cũng có : ABHK
=>HK là đoạn vuông góc chung of AB,CD.
ABC có đcao CK=a3/2
HCK có :HK2=CK2-CH2=3a2/4-a2/4=2a2/4
=>d(AB,CD)=HK=a2/2
3/119.Hlp cạnh a. Cm k.cách từ B,C,D,A’,B’,D’ đến AC’
đều bằng nhau. Tính k.cách đó
AB’C’ vuông có AC’=a3(đcheohlp)=>đcao B’H thỏa:
=>AC’.B’H=AB’.B’C’
.đây là k/c cần tìm
t.tự=>AB’C’=AA’C’=AD’C’
=ADC’=ACC’=ABC’
=>các đường cao t/ứ là k/cách từ các
đỉnh nói trên đến AC’ nên chúng bàng nhau
Ta có:B’C’(ABB’)-tc hlp=>B’C’AB’
=>AB’C’ vuông ở B’ có AB’=a2;B’C’=a
4.Hhộpcn. AB=a;BC=b;CC’=c
a)d(B,(ACC’))
ABC vuông có AC2=AB2+BC2
=a2+b2=>AC=
AA’(ABC)-tc hhộpcn
(AA’C’)(ABC) theo gt AC
Trong (ABC) kẻ BHAC ở H
=>BH(AA’C’)
Ta có:AC.BH=AB.BC
b.d(BB’,AC’)
b.d(BB’,AC’)
Do BB’//AA’=>BB’//(ACC’)
=>d(BB’,AC’)=d(BB’,(ACC’))
5.Hlp cạnh a.
a.cm:B’D(BA’C’)
a.cm:B’D(BA’C’)
=>A’B’D vuông ở A’ có A’D=a2;A’B’=a
Ta có:A’B’(ADD’)tc hlp=>A’B’A’D
t.tự=>A’B’D=BB’D=C’B’D
có đcao A’H
=>BH cũng là đcao B’BD
Vậy B’DA’H;B’DBH;B’DC’H=>A’H,BH,C’H đphẳng
=>A’H,BH,C’H(BA’C’)=>B’D(BA’C’) tại H
b)Tính d((BA’C’),(ACD’))
BA’C’ đều,cạnh a2=>có H là tâm
Cmtt ta cũng có B’D(ACD’) ở K
b)Tính d((BA’C’),(ACD’))
BA’C’ đều,cạnh a2=>có H là tâm
BA’H vuông ở H có:
B’H2=A’B’2-A’H2=3a2/9=>B’H=a3/3
và DK=a3/3
Mà B’D=a3(đchéo hlp)=>B’H=HK=KD=a3/3
=>(BA’C’)//(ACD’)=>d((BA’C’),(ACD’))=HK=a3/3
b)Tính d(BC’,CD’)
c)Tính d(BC’,CD’)
Do BC’(BA’C’);CD’(ACD’)
=>d(BC’,CD’)=d((BA’C’),(ACD’))=a3/3
Bài 6/119:ABCD.cm: nếu AC=BD;AD=BC thì đoạn
vuông góc chung 0f AB,CD là đoạn nối trung điểm
của AB,CD và ngược lại
a)nếu AC=BD;AD=BC thì đoạn vuông góc chung 0f
AB,CD là đoạn nối trung điểm của AB,CD
ABC=ABD(ccc)
=>KC=KD=>KCD cân ở K
=>HKCD(1)
Cmtt ta có : HKAB(2)
(1) và (2)=>HK là đoạn vuông góc chung của...
Gọi H,K lần lượt là trung điểm của
CD,AB=>KC,KD lần lượt là trung
tuyến của ABC=ABD
ACD có :AC2+AD2= 2AH2+CD2/2
BCD có :BC2+BD2= 2BH2+CD2/2
Mà AH=BH vì ABH nhận HK vừa là
tr.tuyến vừa là đcao
t.Tự ta có: CB2+CA2=DB2+DA2(4)
Trừ theo vế (3) cho (4):
AD2-BC2=BC2-AD2AD=BC(5)
Cmtt ta có : AC=BD(6)=>đpcm
b)Giả sử H,K lần lượt là tr.điểm CD,AB mà HK là đoạn…
=>AC2+AD2=BC2+BD2(3)
7/120.S.ABC đều, cạnh đáy 3a;cạnh bên 2a.Tính d(S,(ABC))
Gọi H là tâm ABC=>SH(ABC)-tính chất hchóp đều
Gọi A’ là tr.điểm BC=>
SAH vuông ở H có:
SH2=SA2-AH2=4a2-3a2=a2
=>d(S,(ABC))=SH=a
9.SABC;SA=3a và v.góc đáy;
đáy có B=1200;AB=BC=2a; tính d(A,SBC)
Kẻ AKBC ở K, mà SA(ABC)=>SABC
=>BC(SAK)=>(SBC) (SAK)
Kẻ AHSK ở H
=>AH(SBC)-tc 2mp v.góc
ABK có AK=ABsin600=a3
DH2002.S.ABC đều có AB=a. Gọi M,N lần lượt là tr.điểm
của SB,SC;(AMN)(SBC). Tính SAMN
DH2002.S.ABC đều có AB=a. Gọi M,N lần lượt là tr.điểm
của SB,SC;(AMN)(SBC). Tính SAMN
SAB=SAC(tc hc đều)=>AM=AN=>AISA’(1)
Mà BCAA’;BCS0
=>BC(SAA’)=>BCAI(2)
(1),(2)=>AI(SBC)
=>AISA’
Gọi 0 là tâm ABC;A’,I là tr,điểm BC,MN, Do MN//BC
=>S,I,A’ thẳng hàng
(1),(2)=>AI(SBC)
=>AISA’
=>SAA’ cân ở A
=>SA=AA’=a3/2=SB=SC
SBA’ vuông =>SA’2=SB2-A’B2
=>SA’ =a2/2=>AI2=AS2- SI2
=>AI=a10/4
=>SAMN=MN.AI/2=a210/16
2/59dc. S.ABC;ABC đều,cạnh a
SA=SB=SC=2a3/3. Tính:
a)d(S,(ABC))
Gt=>S.ABC là hc đều
=>SH(ABC);H là tâm ABC
Gọi M tr.điểm của AC=>
SBH=>SH2=SB2-BH2=a2=>SH=a=d(S,(ABC))
Ta có:ACBM;ACSB(tc hc đều)=>AC(SBM)
=>(SAC)(SBM)
Kẻ BHSM ở K=>BK(SAC)-tc 2mp vuông góc
SBM có: BK.SM=BM.SH
3. S.ABC đáy vuông ở A;góc B=600;BC=2a.M tr.điểm BC
SA=SC=SM=a5. Tính
a)d(S,(ABC))
Lấy I tr,điểm AC;H đ.x Q qua AC
=>IM là tr.bình of ABC
=>IM //AB=>IMAC=>AMCM
là h.thoi=>HC=HM=HA=a
=>H là tâm đtròn ngt ACM mà SA=SC=SM=>SH là trục
đtròn ngt ACM=>SH(ABC)
3. S.ABC đáy vuông ở A;góc B=600;BC=2a.M tr.điểm BC
SA=SC=SM=a5. Tính
a)d(S,(ABC))
SHM=>SH2=SM2-HM2=a2=>SH=a=d(S,(ABC))
3. SA=SC=SM=a5. Tính
b)d(A,SM)
Gọi K là tr.điểm AM=>SKAM(SAM cân)
SK2=SA2-AK2=5a2-a2/4=>SK=(a19)/2. Kẻ AFSM ở F
SAM có:AF.SM=AM.SK
4/59dc. S.ABCD đáy hv tâm 0;cạnh a;SAđáy;SA=a3
a)Tính d(A,(SCD));d(B,(SCD),d(0,SCD)
Ta có SA(ABC)=>SACDmà
ADCD=>CD(SAD)=>(SCD)(SAD)
Kẻ AHSD ở H=>AH(SCD)
Vì AB//CD=>AB//(SCD)=>d(B,SCD)=d(A,SCD)=
Gọi K là tr.điểm CH=>0K là tr.bình ofACH=>0K//AH
=>0K(SCD)=>d(0,SCD)=0K=AH/2=
4/59dc. S.ABCD đáy hv tâm 0;cạnh a;SAđáy;SA=a3
b)d(AD,(SBC); d(AC,SB)
t.Tự câu a=>d(AD,SBC)=AQ=a/2
(AQ là đcao SAB)
E
Lấy E là đỉnh hbh ACBE
I là tr.điểm BE
=>A0BI là hcn=>AIBE
Mà SABE=>BE(SAI)=>(SBE)(SAI) và AC//(SBE)
Dựng AJSI ở J=>AJ(SBE);AI=0B=a2/2
HA’ là hchiếu of AA’ lên (A’B’C’)
=>góc (AA’,(A’B’C’)=AÂ’H=600;AH là đcao l.trụ
A’B’C’=>A’H=a3/2=>AA’H có:AH=A’Htg600=3a/2
7/59. lăng trụ;ABC đều,
cạnh a; hchiếu of A lên (A’B’C’)
là tr.điểm H of B’C’;cạnh bên tạo
với đáy góc 600
a)Tính độ dài đcao l.trụ:
AH(A’B’C’)=>AHB’C’;
BC//B’C’=>góc AC’ vàBC bằng góc AC’và B’C’=gócAC’H
b)Góc giữa BC và AC’:
b)Góc of BC và AC’
BC//B’C’=>góc AC’ vàBC
bằng góc AC’và B’C’=gócAC’H
AHC’ có: tgAC’H=AH/C’H=3
c)Góc (ABB’) và đáy
Gọi K,I là tr.điểm A’B’;B’K;HI//C’K
=>HIA’B’;AHA’B’
=>A’B’(AHI)=> góc cần tìm là AIH;tgAIH=AH/HI=23
9/60. ABCD có ABC đều, cạnh a
ADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I là
tr.điểm BC,AH
a)cm: BC(ADH)
BCAH và BCAD=>
BC(ADH)=>BCDH=>DH=a
b)cm: DI(ABC)
DAH cân ở D vì có DA=DH=a=>DIAH. Mặt khác:
BC(ADI) mà DH(ADI)=>DIBC=>DI(ABC)
9/60. ABCD có ABC đều, cạnh a
ADBC;AD=a;d(D,BC)=a;H,I là
tr.điểm BC,AH
c)Tìm đoạn vuông góc
chung of AD,BC
Trong (ADH) kẻ HKAD ở K
BC(ADH)=>BCHK=>HK là đoạn thẳng cần tìm;
HK.AD=AH.DI
DI2=AD2-AI2=a2-3a2/16=13a2/16=>DI=
Ta có:HK.AD=AH.DI=>HK=
10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đc
a)Tính d(0,SBC)
Gọi E,F lần lượt là tr.điểm of BC,BE
Gt=>BCD đều=>DEBC
Mà 0F//DE=>0FBC mà S0BC
=>BC(S0F)
Kẻ 0HSF ở H=>0H(SBC)
BCD=>DE=a3/2=>0F=a3/4
b)d(AD,SB)
10/60. S.ABCD đáy hthoi cạnh a,tâm 0;Â=600.S0=a và là đc
b)d(AD,SB)
Lấy I đ.x F qua 0;K đx F qua H
=>IAD và 0H là tr.bình FIK
=>IK//0H=>IK(SBC)
Vì AD//BC=>AD//(SBC)
=>d(AD,SBC)=d(I,SBC)=IK=20H=
11.S.ABCD đáy hv cạnh a;SAD đều,(SAD)(ABC)
a)Tính d(AD,SB)
Gọi E là tr.điểm AD=>SEAD
Mà (SAD)(ABC)=>SE(ABC)
Gọi I là tr.điểm BC=>EIBC
Mà SEBC=>BC(SEI)
=>(SBC)(SEI)
Kẻ EHSI=>EH(SBC)
b)d(SA,BD)
b)d(SA,BD)
Gọi F là tr.điểm 0D;J đ.x F qua E
=>AJDF là hcn=>AJEJ
Mặt khác:AJSE vì SE(ABC)
=>AJ(SJE)=>(SAJ) (SJE)
Trong (SJE) kẻ EKSJ ở K
=>EK(SAJ)-tc 2mp vuông góc
SEJ vuông có:EJ=EF=A0/2=a2/4
12.(DH10) S.ABCD đáy hv cạnh a
M,N lluot là tr.điểm AB,AD;
H=CNMD;SH(ABC);SH=a3.
Tính VSCDMN và d(MD,SC)
SCDMN=SABCD-SAMN-SCMB
=a2-(1/2)a2/4-a2/4=5a2/8
cmDMCN và MD SH=>DM (SMC)
Ta có: AMD=DNC(cgc)
=>gócADM=gocDCN
Cm CNMD
Mà góc ADN+MDC=900
=>gócMDC+DCN=900
=>CNMD
Mặt khác MDSH cmt
=>MD(SNC)
=>DM (SNC)=>(SDM) (SNC)
DNC vuông
=>CD2=CH.CN
Trong (SNC),kẻ HKsc(1)
=>mà MD(SMC)=>
HKMD(2)=> HK là đoạn
Vgóc chung of DM,SC
4.Hhcn AB=AA’=a;AC’=2a
a)d(D,(ACD’)
Dựng DIAC tại I
Mà DD’AC(t.c hhcn)
=>AC(DD’I)=>(ACD’)(DD’I)
Dựng DH D’I tại H=>DH(ACD’)
(t.c 2 mp vuông góc)
AC2=AC’2-AA’2=3a2=AD2+CD2=>AD2=2a2=>AD=a2
b)Dựng và tính độ dài đường
Vuông góc chung của AC’;CD’
Theo cmt=>CDD’C’ là h.vuông
cạnh a=>CD’C’D
Mà ADC’D(t.c hhcn)
=>CD’(C’DA)
=>C’DA vuông cân tại D
Gọi H trung điểm AC’;F trung điểm C’A
=>EF là trung bình của C’DH
EF//DH;DHAC’=>EFAC’
EF(C’DA)=>EFCD’; vậy EF là đoạn vuông góc chung của…
5.S.ABCD đáy hcn AB=2a;BC=a;các cạnh bên a2
a)Tính d(S,(ABCD)
Gọi O=ACBD=>O là tâm đường
tròn ngoại tiếp hcn ABCD
Do SA=SB=SC=SD=>S thuộc trục
đtròn ngoại tiếp đáy ABCD
=>SO là trục=>SOABCD
=>SO=d(S,(ABCD))
Ta có: AC2=AB2+BC2=5a2=>AO2=5a2/4
SOA vuông ở H=>
b)E,F trung điểm AB,CD;KAD
Cm: d(EF,SK) k0 phụ thuộc K.Tính
Ta có: EF//AD(t.c hcn)
=>EF//mp(SAD);mà SK(SAD)
=>d(EF,SK)=d(EF,(SAD)
=d(O,(SAD)) const
Gọi I trung điểm AD=>AD0I;ADSI=>AD(SAD)
=>(SAD)(S0I).Dựng 0HSI tại K=>0H(SAD)(t.c2mp v.góc)
0I=AB/2=a
S0I vuông có: