CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Để giải quyết vấn đề tắc đường ở các
thành phố lớn, có rất nhiều giải pháp
được đưa ra. Trong đó giải pháp xây
dựng các hệ thống cầu vượt, đường
hoặc đường sắt trên cao đã và đang
được đưa vào thực tế ở Việt Nam.
Toán học mô tả vị trí tương quan
giữa các tuyến đường trên như thế
nào?

VIDEO 3

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG
TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 11. HAI ĐƯỜNG THẲNG
SONG SONG

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI
ĐƯỜNG THẲNG

2

TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG

3

NHẮC LẠI KIẾN THỨC, LÀM
BÀI TẬP

VIDEO 4

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI
ĐƯỜNG THẲNG

VIDEO 5

HĐ1
Quan sát bốn tuyến đường trong Hình 4.13 và trả lời câu hỏi sau:
a) Hai tuyến đường nào giao nhau?
b) Hai tuyến đường nào không giao nhau?
c) Hai tuyến đường nào song song?

Trả lời:
Quan sát Hình 4.13 ta thấy:
a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.
b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không
giao nhau.
c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song
song.

KẾT LUẬN
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.
• Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi
đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
• Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo
nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

Câu hỏi
Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song,
hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn.

Ví dụ: - Hình ảnh hai đường thẳng song song:
Hai cạnh đối diện của chiếc bàn

Vạch kẻ đường

Ví dụ:

- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau:
Cạnh bàn và đường nối chân bàn

Nhận xét

-

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng
phẳng và không có điểm chung.

-

Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song
song.

Ví dụ 1
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng (H.4.16).
a) Quan sát bốn đường thẳng AB, BC,
CD, DA. Chỉ ra các cặp đường thẳng cắt
nhau, các cặp đường thẳng song song.
b) Trong ba đường thẳng AB, AF, BE có
hai đường thẳng nào chéo nhau hay
không?

Ví dụ 1
GIẢI:

a) Các cặp đường thẳng cắt nhau là AB
và BC, AB và DA, BC và CD, CD và DA.
Các cặp đường thẳng song song là AB
và CD, DA và BC.
b) Các đường thẳng AB, AF, BE cùng
nằm trong mặt phẳng (ABEF) nên trong
ba đường thẳng đó không có hai đường
thẳng nào chéo nhau.

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

Luyện tập 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17)
a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD, hai
đường thẳng nào song song, hai đường thẳng
nào cắt nhau?
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh
SA, SB. Trong các đường thẳng SA, MN, AB có
hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Luyện tập 1
GIẢI:

b) Vì hai điểm M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai
cạnh SA, SB nên hai điểm M, N thuộc mặt phẳng
(SAB) hay các điểm S, A, B, M, N cùng thuộc một
mặt phẳng nên các đường thẳng SA, MN, AB đồng
phẳng, do đó khi lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng
trên thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song
hoặc trùng nhau.
Vậy trong các đường thẳng SA, MN, AB, không có
hai đường thẳng nào chéo nhau.

Ví dụ 2
Cho hình tứ diện ABCD (H.4.18). Hai đường thẳng AB và CD có chéo nhau hay
không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện đó.

GIẢI:
Nếu hai đường thẳng AB và CD không chéo nhau
thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng.
Khi đó bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, trái với giả
thiết ABCD là hình tứ diện.
Do đó, hai đường thẳng AB và CD chéo nhau.

Ví dụ 2
Cho hình tứ diện ABCD (H.4.18). Hai đường thẳng AB và CD có chéo nhau hay
không? Chỉ ra các cặp đường thẳng chéo nhau có trong hình tứ diện đó.

GIẢI:
Lập luận tương tự, ta thấy trong tứ diện ABCD còn
có các cặp đường thẳng chéo nhau là AC và BD, AD
và BC.

Luyện tập 2
Trong hình chóp tứ giác S.ACBD (H.4.19), chỉ ra những
đường thẳng:
a) Chéo với đường thẳng SA;
b) Chéo với đường thẳng BC

Luyện tập 2
GIẢI:
a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng SA là BC và CD.
Giải thích: Nếu hai đường thẳng SA và BC không chéo nhau thì
chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm S, A, B, C đồng
phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là hình chóp. Do đó, hao đường
thẳng SA và BC chéo nhau. Tương tự, giải thích được hai đường
thẳng SA và CD chéo nhau.
b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng BC là SA và SD. Giải thích
tương tự câu a.

Vận dụng 1
Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên
mặt sàn (H.4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một
trong các mép tường hay không?

GIẢI:
Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một
trong các mép tường vì điểm đầu gậy chạm với sàn
và 4 điểm góc của tường là các điểm không đồng
phẳng nên đường thẳng tạo bởi chiếc gậy và một
trong các mép tường là hai đường thẳng chéo
nhau.

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG

HĐ2
Trong không gian, cho một đường thẳng d và một điểm M không nằm trên
d (H.4.21). Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và d.
a) Trên mặt phẳng (P) có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với
d?
b) Nếu một đường thẳng đi qua M
và song song với d thì đường
thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P)
hay không?

HĐ2
Trả lời:

a) Trên mặt phẳng (P) có một và chỉ một
đường thẳng đi qua M và song song với
d (theo tiên đề Euclid).

b) Giả sử a là đường thẳng đi qua M và song song với d. Khi đó hai đường thẳng
a và d đồng phẳng. Mà điểm M và đường thẳng d đều cùng nằm trong mặt
phẳng (P) nên a và d cùng nằm trong mặt phẳng (P).

Vậy nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì
đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

KẾT LUẬN
Trong không gian, qua một điểm không
nằm trên đường thẳng cho trước, có
đúng một đường thẳng song song với
đường thẳng đã cho.

HĐ3
Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép
trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay
không?

Trả lời:
Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, ta có thể
chọn là mép trên của tường có gắn bảng và mép dưới của
bảng liền với tường, hai đường thẳng này có song song với
nhau.

KẾT LUẬN

Trong không gian, hai đường thẳng phân
biệt cùng song song với đường thẳng thứ
ba thì song song với nhau.

Ví dụ 3
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các
đoạn thẳng AB, CD, AD, BC, AC, BD (H.4.22).
a) Chứng minh rằng tứ giác MPNQ là
hình bình hành.
b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng
MN, PQ, RS cùng đi qua trung điểm
của mỗi đoạn.

Ví dụ 3
GIẢI:
a) Trong tam giác , ta có là đường
trung bình nên và
Tương tự với tam giác , ta có và
.
Do đó và , suy ra tứ giác là hình bình
hành.

Ví dụ 3
GIẢI:
b) Từ câu a suy ra hai đoạn thẳng MN và
PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đoạn.
Tương tự, hai đoạn thẳng MN và RS cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Do đó, các đoạn thẳng MN, PQ, RS cùng
đi qua trung điểm của mỗi đoạn.

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

Luyện tập 3
Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng 4 điểm C, D, E, F đồng phẳng và tứ giác CDFE là
hình bình hành.

GIẢI:

Ta có: EF // AB (do ABEF là hình bình hành) và CD //
AB (do ABCD là hình bình hành).
Do đó, CD // EF.
Khi đó, hai đường thẳng CD và EF đồng phẳng hay
bốn điểm C, D, E, F đồng phẳng.
Lại có EF = AB và CD = AB (do ABEF và ABCD là các hình bình hành) nên CD =
EF.
Vậy tứ giác CDFE là hình bình hành.

HĐ4
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng (R)
cắt (P) và (Q) lần lượt theo giao tuyến a và b khác c
a) Nếu hai đường thẳng a và c cắt nhau tại M thì đường thẳng b có đi qua M
hay không (H.4.23)? Giải thích vì sao.
b) Nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c
có song song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.

Trả lời:

HĐ4

a) Vì M thuộc a nằm trong mặt phẳng (R) nên M thuộc mặt phẳng (R).
Vì M thuộc c nằm trong mặt phẳng (Q) nên M thuộc mặt phẳng (Q).
Do đó, M là một điểm chung của hai mặt phẳng (R) và (Q).
Lại có hai mặt phẳng (R) và (Q) có giao
tuyến là đường thẳng b.
Vậy M thuộc b hay đường thẳng b đi
qua điểm M.

Trả lời:

HĐ4

b) Ta thấy ba đường thẳng phân biệt a, b,
c đôi một đồng phẳng.
Do đó, nếu không có hai trong ba đường
thẳng nào trong chúng cắt nhau thì a, b, c
đôi một song song.
Vậy nếu hai đường thẳng a và c song
song với nhau thì hai đường thẳng b và c
song song với nhau.

y

KẾT LUẬN

A
C

A
X
B

Định lí về ba đường giao tuyến
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba
giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng
quy hoặc đôi một song song với nhau.

A

B

C

Б

Hệ quả

Б

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song
thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng
đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Π

Ví dụ 4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.25).
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

GIẢI:
Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) có điểm
chung S và chứa hai đường thẳng song
song là AB và CD.
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB)
và (SCD) là đường thẳng m đi qua S và
song song với AB, CD.

Bài tập nhỏ
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là giao tuyến của hai
mặt phẳng và . Xác định d và tìm vị trí tương đối của d với BD?

GIẢI:
Ta có hai mặt phẳng và có:
Điểm chung; .
Vậy giao tuyến d là đường thẳng qua và
song song với và .
Ta có:
Mà

Luyện tập 4
Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

GIẢI:
Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có
điểm chung S và chứa hai đường
thẳng song song là AD và BC.
Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (SBC) là đường thẳng n đi
qua S và song song với AD, BC.

Vận dụng 2
Một bề kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng
như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước AB song song
với cạnh CD của bề nước.