CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Các đầu bếp chuyên nghiệp
luôn có kĩ năng dùng dao điêu
luyện để thái thức ăn như rau,
củ, thịt, cá,... thành các miếng
đều nhau và đẹp mắt. Các nhát
cắt cần tuân thủ nguyên tắc gì
để đạt được điều đó?

CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG
SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

2

ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI
MẶT PHẲNG SONG SONG

3

ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG KHÔNG
GIAN

4

HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐ1
Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh
về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm
thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó.

VIDEO 5

HĐ1
Trả lời:
Các mặt của từng tầng
trong giá để dép gợi nên
hình ảnh về các mặt phẳng
không có điểm chung.

Mặt sàn và mặt trần nhà
bằng gợi nên hình ảnh về
các mặt phẳng không có
điểm chung.

KHÁI NIỆM

Hai mặt phẳng và được gọi là song
song với nhau nếu chúng không có
điểm chung, kí hiệu // hay // .

Nhận xét
Nếu hai mặt phẳng và song song
với nhau và đường thẳng d nằm
trong () thì d và không có điểm
chung, tức là d song song với .
Như vậy, nếu một đường thẳng
nằm trong một trong hai mặt
phẳng song song thì đường thẳng
đó song song với mặt phẳng còn
lại.

CÂU HỎI
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong mặt phẳng song
song hay không?

Trả lời:
Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt
phẳng song song.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA
HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐ2
Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song
với mặt phẳng (β) (H.4.41)
Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có
song song với nhau hay không, hai
đường thẳng b và c có song song
với nhau hay không?
Hãy rút ra kết luận sau khi trả lời
các câu hỏi trên.

HĐ2
Trả lời:
Do a song song với mặt phẳng (β) và
a nằm trong mặt phẳng (α) nên (α)
và (β) cắt nhau theo giao tuyến c
song song với a.
Lí luận tương tự, ta thấy c song song
với b.
Từ đó suy ra a song song với b hoặc
a trùng với b (mâu thuẫn giả thiết).

KẾT LUẬN
Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường
thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này
song song với mặt phẳng (β) thì (α) và
(β) song song với nhau.

V=a3
a

CÂU HỎI
Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên còn đúng
không?

Trả lời:
Giả sử hai đường thẳng a và b trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai
mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng
trùng nhau trên, do đó (α) và (β) không song song với nhau.
Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên
không đúng.

Ví dụ 1
Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF
không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Chứng minh rằng mặt phẳng (BCE) song
song với mặt phẳng (ADF) (H.4.42).

Giải:

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên BC II AD, suy ra BC II (ADF).
Vì tử giác ABEF là hình bình hành nên BE II AF, suy ra BE II (ADF).
Mặt phẳng (BCE) chứa hai đường thẳng cắt nhau BC và BE cùng song song
với mặt phẳng (ADF) nên mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

LUYỆN TẬP 1
Trong không gian, cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai
đường thẳng m; n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh
rằng mp(m, n) song song với mặt phẳng (BCD).

Giải:
Vì m // BC nên m // (BCD).
Vì n // BD nên n // (BCD).
mp(m, n) chứa hai đường thẳng cắt nhau
m và n (cắt nhau tại A) cùng song song với
mặt phẳng (BCD) nên mp(m, n) song song
với mặt phẳng (BCD).

VẬN DỤNG 1
Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay
quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần
chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại
sao.

VẬN DỤNG 1
Giải:
Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật
nên các cạnh đối diện của khung sắt song
song với nhau, do đó a // c và b // d.
Vì c và d là các đường thẳng của chân bàn
nằm trên mặt đất, nên a // c thì đường
thẳng a song song với mặt đất và b // d thì
đường thẳng b song song với mặt đất.
Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song
song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

HĐ3
Đặt một tấm bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang
(H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt
bìa có trùng với mặt bàn hay không?

Trả lời:

Mặt bàn nằm ngang thì song song với
mặt đất. Khi tấm bìa cứng được đặt
lên một góc của mặt bàn nằm ngang
sao cho mặt bìa song song với mặt
bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.

TÍNH CHẤT

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng
cho trước có một và chỉ một mặt phẳng
sóng song với mặt phẳng đã cho.

CÂU HỎI
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba
thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Trả lời:
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ
ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
Chứng minh:
Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) phân biệt có (P) // (Q),
(Q) // (R). Theo tính chất bắc cầu ta có (P) // (R).

Ví dụ 2
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P,
Q lần lượt là trung điểm của các
cạnh SA, SB, SC, SD (H.4.45). Chứng
minh rằng hai mặt phẳng (MNP) và
(NPQ) cùng song song với mặt phẳng
(ABCD), từ đó suy ra bốn điểm M, N,
P, Q đồng phẳng.

Ví dụ 2
Giải:
Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA,
SB nên MN là đường trung bình của
tam giác SAB. Do đó, MN II AB và suy
ra MN song song với mặt phẳng
(ABCD).
Tương tự, NP cũng song song với mặt
phẳng (ABCD).
Vậy mặt phẳng (MNP) song song với
mặt phẳng (ABCD).

Ví dụ 2
Giải:
Lập luận tương tự ta có mặt phẳng
(NPQ) cũng song song với mặt phẳng
(ABCD).
Hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng đi
qua điểm N và cùng song song với mặt
phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng đó
trùng nhau
Tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng
phẳng.

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

LUYỆN TẬP 2
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các
cạnh SA, SB, SC, SD sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng
phẳng.

Giải:
Xét có hay
Suy ra MN // AB (theo định lí Thalés).
Do đó MN song song với mặt phẳng (ABCD).
Tương tự, NP // BC nên NP song song với
mặt phẳng (ABCD).

LUYỆN TẬP 2
Giải:
Vậy mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng
cắt nhau MN và NP cùng song song với mặt
phẳng (ABCD) nên mặt phẳng (MNP) song
song với mặt phẳng (ABCD). Lập lập tương
tự ta có mặt phẳng (MPQ) cũng song song
với mặt phẳng (ABCD).
Hai mặt phẳng (MNP) và (MPQ) cùng đi qua
điểm M và cùng song song với mặt phẳng
(ABCD) nên hai mặt phẳng đó trùng nhau,
tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

HĐ4
Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt
phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)
a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt
mặt phẳng (Q).
b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt
phẳng (R) và (Q). Hai đường
thẳng a và b có thể chéo nhau hay
không, có thể cắt nhau

hay không?

HĐ4
Giải:
a) Giả sử mặt phẳng (R) không cắt mặt phẳng
(Q), tức là hai mặt phẳng (R) và (Q) song song
với nhau, mà mặt phẳng (P) song song với mặt
phẳng (Q), do đó mặt phẳng (R) cũng song song
với mặt phẳng (P) (hai mặt phẳng phân biệt cùng
song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song
song với nhau), mâu thuẫn với giả thiết (R) cắt
(P) theo giao tuyến a.
Vậy mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q).

HĐ4
Giải:
b) Vì a và b cùng thuộc mặt phẳng (R) nên hai
đường thẳng a và b không thể chéo nhau.
Hai đường thẳng a và b không có điểm chung, vì
nếu chúng có điểm chung A thì hai mặt phẳng
(P) và (Q) cũng có điểm chung A (mâu thuẫn với
giả thiết (P) và (Q) song song với nhau).
Vậy hai đường thẳng a và b không thể cắt nhau.

T
Ấ
H
C
H
N
Í
T
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một
mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt
mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song
với nhau.

Ví dụ 3
Trong Ví dụ 2, gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD (H.4.47). Xác
định giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (MNPQ).

Giải:
Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai mặt
phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau.
Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (MEF) với
hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song
với nhau.

Ví dụ 3
Trong Ví dụ 2, gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, CD (H.4.47). Xác
định giao tuyến của mặt phẳng (MEF) và mặt phẳng (MNPQ).

Giải:
Trong mặt phẳng (MEF), qua M vẽ đường
thẳng song song với EF cắt PQ tại G thì
đường thẳng MG là giao tuyến của hai mặt
phẳng (MEF) và (MNPQ).

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

LUYỆN TẬP 3
Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và
mặt phẳng (ABCD).

Giải:
Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được hai
mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song
với nhau.
Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (EMQ)
với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song
song với nhau.
Ta có (EMQ) ∩ (MNPQ) = MQ.

LUYỆN TẬP 3
Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và
mặt phẳng (ABCD).

Giải:
Trong mặt phẳng (MEQ), qua E vẽ đường
thẳng song song với MQ cắt CD tại H (EH //
MQ // AD) thì đường thẳng EH là giao tuyến
của hai mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng
(ABCD).

3. ĐỊNH LÍ THALÈS
TRONG KHÔNG GIAN

HĐ5
Cho mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân
biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C'
(C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48)
a) Các cặp đường thẳng BD và CC',
B'D và AA' có song song với nhau
không?
b) Các tỉ số  có bằng nhau không?

HĐ5
Giải:
a) Mặt phẳng (ACC') lần lượt cắt
hai mặt phẳng song song (Q) và
(R) theo hai giao tuyến BD và CC'.
Do đó, BD // CC'.
Mặt phẳng (AC'A') lần lượt cắt hai
mặt phẳng song song (P) và (Q)
theo hai giao tuyến AA' và B'D. Do
đó, B'D // AA'.