CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật
chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức

Trong đó  là khối lượng của vật khi nó đứng yên, là vận
tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật
khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?

CHƯƠNG V. GIỚI HẠN.
HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC

1

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM
SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

2

GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM
SỐ TẠI VÔ CỰC

3

GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM
SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA
HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

VIDEO 5

HĐ1
Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm
2

4−𝑥
(
)
𝑓
𝑥
=
Cho hàm số 
𝑥−2

a) Tìm tập xác định của hàm số .
b) Cho dãy số

2𝑛+1
𝑥𝑛 =
𝑛 .

Rút gọn và tính giới hạn của dãy với .
c) Với dãy số bất kì sao cho và , tính và tìm .

HĐ1
Trả lời: a) Biểu thức có nghĩa khi
Do đó, tập xác định của hàm số là .
b) Ta có:
c) Ta có:
Vì và với mọi nên
Do đó, .

KHÁI NIỆM
Giả sử là một khoảng chứa điểm và hàm số
định trên khoảng có thể trừ điểm .

xác

Ta nói hàm số có

giới hạn là số L khi dần tới nếu với dãy số bất kì, , và
, ta có , kí hiệu hay khi .

Ví dụ 1

Cho hàm số

1
𝑥 −1
𝑙𝑖𝑚
𝑓
(
𝑥)=
.
𝑓 ( 𝑥 )=
2
𝑥 −1 . Chứng tỏ rằng
𝑛 →1
2

Giải:
Lấy dãy số bất kì sao cho và . Ta có

Do đó
Vậy

QUY TẮC
a) Nếu và thì:

b) Nếu với mọi và thì và .

Chú ý:
+) với là hằng số. +) với .

, nếu

Ví dụ 2
Cho và . Tính các giới hạn sau:

Giải:
Ta có . Mặt khác, ta thấy

a) Ta có

Ví dụ 2
Cho và . Tính các giới hạn sau:

Giải:
Ta có . Mặt khác, ta thấy

b) Ta có

Tính

𝑥+9− 3
√
𝑙𝑖𝑚
𝑛→ 0

𝑥

Ví dụ 3

Giải:

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi nên ta không thể áp dụng
ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.
Chú ý rằng
Do đó

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

𝑥−1
Tính 𝑙𝑖𝑚
𝑥 →1
√𝑥 − 1

LUYỆN TẬP 1

Giải:
Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi nên ta không thể áp dụng trực
tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.
Ta có:

Do đó

𝑥− 1 ( √ 𝑥+1 )( √ 𝑥− 1 )
=
=√ 𝑥+1
√ 𝑥− 1
√ 𝑥− 1

𝑥 −1
𝑙𝑖𝑚
=𝑙𝑖𝑚 ( √ 𝑥 +1 ) =𝑙𝑖𝑚 √ 𝑥+𝑙𝑖𝑚 1=√ 1+1=2
𝑥 →1 √ 𝑥 −1 𝑥 →1
𝑥→ 1
𝑥→1

p=q

THẢO LUẬN NHÓM

TOÁN 12-

HĐ2
Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

|𝑥 − 1|

Cho hàm số  𝑓 ( 𝑥 )= 𝑥 − 1
a) Cho và Tính và .

b) Tìm giới hạn của các dãy số và .
c) Cho các dãy số và bất kì sao cho và , tính và

HĐ2
Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Trả lời:
a) Ta có: với mọi với mọi .
Do đó,
Ta cũng có: với mọi
Do đó,
b) Ta có

với mọi .

HĐ2
Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Trả lời:

c) Ta có

Vì , suy ra và với mọi .
Do đó, và
Vậy và .

KHÁI NIỆM
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số là giới hạn bên
phải của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và , ta có , kiếu
hiệu .
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số là giới hạn bên
trái của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và , ta có , kí
hiệu .

Ví dụ 4
Cho hàm số
Tính và

Giải:
Với dãy số bất kì sao cho và , ta có
Do đó
Tương tự, với dãy số bất kì mà ta có , cho nên .

Chú ý
khi và chỉ khi

TRÒ CHƠI
BÀN TRÒN
TRI THỨC

CÁCH THỰC HIỆN

 Chia lớp thành các nhóm.
 Các nhóm thảo luận và hoàn thành luyện tập 2(sgk) .
 Lượt 1: Suy nghĩ cá nhân và viết ra giấy note trong 3
phút
 Lượt 2: Lần lượt mỗi cá nhân trình bày ý kiến của
mình cho nhóm nghe, nhóm trưởng tổng hợp ý kiến
và đưa ra câu trả lời chung
 Hết thời gian, các nhóm trình bày kết quả và GV chốt
lại đáp án.

HỘI NHÓM TRI THỨC
THỬ THÁCH
CÁ NHÂN TỎA SÁNG

HỘI NHÓM TRI THỨC
THỬ THÁCH
TINH THẦN ĐỒNG ĐỘI

LUYỆN TẬP 2
Cho hàm số

Tính

Giải:

Với dãy số bất kì sao cho và , ta có
Do đó
Tương tự, với dãy số bất kì sao cho và ,
ta có
Do đó
Khi đó
Vậy

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA
HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

HĐ3
Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
Cho hàm số có đồ thị như Hình 5.4.

Giả sử là dãy số sao cho , . Tính và tìm .

HĐ3
Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Trả lời:
Với là dãy số sao cho
Ta có:
Khi thì
Do đó

KHÁI NIỆM
 Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới
hạn là số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có . Kí hiệu
hay khi
 Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới
hạn là số khi nếu với dãy số bất kì, và , ta có , kí hiệu
hay khi .

Ví dụ 5

4
Cho𝑓 ( 𝑥 )=2+
. Sử dụng định nghĩa, tìm và
𝑥−1
Giải:
Lấy dãy bất kì sao cho và , ta có

4
𝑓 ( 𝑥𝑛 )=2+
𝑥 𝑛 −1
Do đó
Vậy Tương tự, ta cũng có

Quy tắc và công thức
 Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm
cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
 Với là hằng số, ta có: .
 Với là một số nguyên dương, ta có:

𝑥 +1
√
𝑙𝑖𝑚

Ví dụ 6

2

𝑥

Tìm 𝑥 → −∞

Giải:

Ta có

(√ ) √

𝑥 +1
√
𝑙𝑖𝑚
= 𝑙𝑖𝑚 −
2

2

𝑥 +1
1
=
−
𝑙𝑖𝑚
1+
2
2
𝑥 →−∞ 𝑥
𝑥→−∞
𝑥 →− ∞
𝑥
𝑥
1
1
¿ − 𝑙𝑖𝑚 1+ 2 =− 1+ 𝑙𝑖𝑚 2 =−1
𝑥→ − ∞
𝑥 →− ∞ 𝑥
𝑥

√

( )

√

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

LUYỆN TẬP 3
𝑙𝑖𝑚
Tính
𝑥 →+∞

√𝑥

2

+2
𝑥 +1

Giải:
Ta có:

lim

√

x →+ ∞

√ x + 2 = lim
2

x +1

√

(

2
x 1− 2
x
2

( )

1
x
1+
2
x
lim 1+ lim 2
x→+ ∞

x √1
¿
= =1
1
1
lim 1+ lim
x→+ ∞
x →+∞ x
x →+∞

x →+ ∞

) = lim √
x→+ ∞

√

2
2
1+ 2 lim 1+ 2
x x →+ ∞
x
=
1
1
1+
lim 1+
x
x
x →+∞

( )

TRÒ CHƠI
BÀN TRÒN
TRI THỨC

CÁCH THỰC HIỆN

 Chia lớp thành các nhóm.
 Các nhóm thảo luận và hoàn thành luyện tập 2(sgk) .
 Lượt 1: Suy nghĩ cá nhân và viết ra giấy note trong 3
phút
 Lượt 2: Lần lượt mỗi cá nhân trình bày ý kiến của
mình cho nhóm nghe, nhóm trưởng tổng hợp ý kiến
và đưa ra câu trả lời chung
 Hết thời gian, các nhóm trình bày kết quả và GV chốt
lại đáp án.

HỘI NHÓM TRI THỨC
THỬ THÁCH
CÁ NHÂN TỎA SÁNG

HỘI NHÓM TRI THỨC
THỬ THÁCH
TINH THẦN ĐỒNG ĐỘI