CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

KHỞI ĐỘNG
Hầu hết các công trình kiến trúc đều được xây dựng theo phương thẳng
đứng để có thể vững chãi, mặc dù vậy, cũng có những công trình có
phương nghiêng.
Nếu đứng tại Quảng trường màu nhiệm ở Pisa bằng mắt thường, ta có
thể cảm nhận rằng tháp ngoài cùng bên phải trong hình là nghiêng và các
công trình còn lại đều thẳng đứng.

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC VỚI MẶT PHẲNG

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC
1
2
3

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
VỚI MẶT PHẲNG

TÍNH CHẤT
LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ
QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
VÀ MẶT PHẲNG

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC VỚI MẶT PHẲNG

HĐ1
Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi
đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của
cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng
kể).
a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường
thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi
qua B trên sàn nhà.
b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc
với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

HĐ1
Giải:
a) Trong quá trình đóng - mở cánh cửa:
- Đường thẳng cố định vì luôn đi qua hai bản
lề cố định.
- Đường thẳng trên mặt sàn và luôn đi qua
điểm cố định (là giao của đường thẳng và
mặt sàn).
Vì đường thẳng quay quanh điểm và nên
vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn
và đi qua .

VIDEO 5

HĐ1
Giải:
b) Lấy đường thẳng bất kì trên mặt sàn.
Xét là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua và
song song với .
Khi đó .

KẾT LUẬN
Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt
phẳng nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm
trong

Chú ý: Khi vuông góc với , ta còn nói vuông góc
với hoặc và vuông góc với nhau, kí hiệu

CÂU HỎI
Nếu đường thẳng  và mặt phẳng vuông góc với nhau thì chúng
có cắt nhau hay không?
Giải:
và (P) cắt nhau.
Vì nếu trái lại thì song song hoặc nằm trên
Khi đó, tồn tại đường thẳng
//
Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết .

HĐ2
Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp
chia tấm bia thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó
lên mặt bàn như Hình 7.11.
a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB
vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt
bàn?
b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a
tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB
có vuông góc với a hay không.

HĐ2
Giải:
a) Vì là các hình chữ nhật nên
b) Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ.
Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và
một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Kết luận
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó
vuông góc với mặt phẳng đó.

CÂU HỎI
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam
giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại
hay không?

Giải:
Vì đường thẳng vuông góc với hai cạnh của tam giác nên
vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác.
Nên đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

VÍ DỤ 1
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và
cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng
BC (SAB).
Giải:
Vì SA vuông góc với hai đường
thẳng AB và AC nên SA (ABC). Suy
ra SA BC.
Tam giác ABC vuông tại B nên BC
BA.
Vì BC vuông góc với hai đường
thẳng SA và BA nên BC (SAB).

Luyện tập 1
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm và (H.7.14). Chứng
minh rằng

Giải:
Vì và là giao điểm của hai đường chéo
AC, BD nên là trung điểm của

Б

Vận dụng

Б

Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh
đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo
vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải
thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo
vuông góc với sàn nhà.

Giải:

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế
(cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà
(chứa hai thanh đế).

2. TÍNH CHẤT

p=q

HOẠT ĐỘNG NHÓM
ĐÔI

TOÁN 12-

HĐ3
Cho điểm O và đường thẳng Δ không đi
qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và
song song với Δ. Xét hai mặt phẳng phân
biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong
các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các
đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông
góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a,
b) đi qua O và vuông góc với Δ.

HĐ3
Giải:
Ta có: .
Do vàphân biệt nên và phân biệt.

Mà đi qua và vuông góc với .

KẾT LUẬN
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông
góc với một đường thẳng cho trước.
Nhận xét: Nếu ba đường thẳng đôi
một phân biệt cùng đi qua điểm O và
cùng vuông góc với một đường
thẳng thì ba đường thẳng đó cùng
nằm trong mặt phẳng đi qua O và
vuông góc với

VÍ DỤ 2
Chứng minh rằng điểm cách đều hai điểm phân biệt cho trước khi và chỉ khi
thuộc mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đường
thẳng .

Giải:

Gọi là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn
thẳng và vuông góc với đường thẳng .
Ta có khi và chỉ khi trùng hoặc tam giác cân tại .
Mặt khác, cân tại khi và chỉ khi , tức là thuộc
mặt phẳng .
Do đó, khi và chỉ khi thuộc .

Chú ý
Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn
thẳng và vuông góc với đường thẳng được
gọi là đường trung trực của đoạn thẳng .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập
hợp các điểm cách đều

HĐ4
Cho mặt phẳng và điểm . Trong mặt phẳng , lấy hai đường thẳng cắt nhau tuỳ
ý. Gọi  là các mặt phẳng qua và tương ứng vuông góc với (H.7.19).
a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng
 cắt

nhau

theo

một

đường

thẳng  đi qua .
b) Nêu nhận xét về mối quan hệ
giữa và

Giải:

HĐ4

a) Vì
và cắt nhau theo một giao tuyến
Tương tự và cắt nhau theo một giao tuyến
Do và cắt nhau nên cắt nhau suy ra chúng phân
biệt.
không trùng nhau.
Mặt khác, có điểm chung nên cắt nhau theo
một đường thẳng đi qua .

Giải:
b) Ta có: đi qua

Mà

HĐ4

n
ậ
u
l
t
ế
K

Có duy nhất một đường thẳng đi qua
một điểm cho trước và vuông góc với
một mặt phẳng cho trước.

Luyện tập 2
Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và
AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng
ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải:
Ta có:
Mặt khác, qua điểm có duy nhất đường thẳng
vuông góc với
thẳng hàng.

VÍ DỤ 3
Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Giải thích vì sao có duy nhất
điểm H thuộc (P) sao cho đường thẳng AH vuông góc với (P).

Giải:
Gọi a là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
Lấy điểm H thuộc (P). Khi đó, đường thẳng AH vuông góc với (P) khi và
chỉ khi AH trùng với a, tức là H là giao điểm của a và (P).
Vậy có duy nhất điểm H thuộc (P) để AH vuông góc với (P), đó là giao
điểm của a với (P).

2. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG
SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
PHẲNG

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

PHIẾU HỌC TẬP
HĐ 5:
Cho đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng và song song với
đường thẳng Lấy một đường
thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng
Tính ) và từ đó rút ra mối quan hệ
giữa
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
………………………………………….

PHIẾU HỌC TẬP
HĐ 6:
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng
vuông góc với mặt phẳng Xét là một điểm
thuộcnhưng không thuộc Gọi là đường
thẳng qua và song song với
a) Hỏi c có vuông góc với hay không? Nêu
nhận xét về vị trí tương đối giữa và
b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai
đường thẳng và
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
………………………………………….

HĐ5
Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và song song với đường thẳng . Lấy
một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng (H.7.20). Tính và từ đó rút ra mối quan
hệ giữa và .

Giải:
Vì nên .
Mặt khác // nên .
Mà là đường thẳng bất kì thuộc nên vuông
góc với mọi đường thẳng trong (P).

HĐ6
Cho hai đường thẳng phân biệt và cùng vuông góc với mặt phẳng Xét là một
điểm thuộc nhưng không thuộc . Gọi là đường thẳng qua và song song với
(H.7.21).
a) Hỏi có vuông góc với hay không? Nêu nhận
xét về vị trí tương đối giữa và .
b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai
đường thẳng và .

Giải:

a) (P)
Mà (P), cùng đi qua điểm O trùng .
b) Ta có mà trùng nên

Kết luận
- Nếu đường thẳng

vuông góc với mặt

phẳng thì các đường thẳng song song với
cũng vuông góc với
- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc
với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Б

VÍ DỤ 4

Б

Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc với nhau. Gọi tương ứng là
trọng tâm của các tam giác . Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng

Giải:

Vì vuông góc với các đường thẳng nên
Kẻ các đường trung tuyến tương ứng của các
tam giác .
Ta có
Do đó, song song với
Mặt khác, nên

HOẠT ĐỘNG NHÓM ĐÔI

PHIẾU HỌC TẬP
HĐ 7:
Cho hai mặt phẳng và song song với nhau
và đường thẳng  vuông góc với Gọi b là
một đường thẳng bất kì thuộc Lấy một
đường thẳng thuộc sao cho song song với
(H.7.23). So sánh và Từ đó rút ra mối quan
hệ giữa 

……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
………………………………………….

PHIẾU HỌC TẬP
HĐ 8:
Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng
vuông góc với đường thẳng Δ . Xét O là một
điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc
mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O
và song song với (Q) (H.7.24).
a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu
nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).
b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………..
……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………
………………………………………….