CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

MỞ ĐẦU
Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s
thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp
phanh, ô tô chuyển động chậm dần
đều với vận tốc (m/s), trong đó là
thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp
phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao
nhiêu mét?

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

CHƯƠNG IV : NGUYÊN HÀM
VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 12: TÍCH PHÂN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

2

TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

VIDEO 3

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

VIDEO 4

a) Diện tích hình thang cong
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai
đường thẳng , trong đó ) là hàm liên tục không âm
trên đoạn [a; b], gọi là một hình thang cong.

VÍ DỤ 1
Những hình phẳng được tô màu dưới đây có phải là hình thang cong
không?

VIDEO 5

VÍ DỤ 1
Giải

Hình 4.3a là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường
thẳng ,
Hình 4.3b là hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục hoành và hai đường
thẳng ,

HĐ1
Diện tích của hình thang
Ký hiệu là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng , trục
hoành và hai đường thẳng , (H.4.4)
a) Tính diện tích của khi
b) Tính diện tích của khi
c) Chứng minh rằng là một nguyên hàm
của hàm số , và
diện tích

Giải

HĐ1

Kí hiệu và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với
đường thẳng .
Khi đó .
Ta có: .
Khi đó diện tích hình thang T là
.

Giải

HĐ1

b) Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với đường
thẳng .
Khi đó .
Do đó .
Khi đó diện tích hình thang là
.

Giải
c) +)
Do đó là một nguyên hàm của
hàm số .
+) Có
Do đó .

HĐ1

HĐ2
Diện tích của hình thang cong
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục
hoành và hai đường thẳng , .
Ta muốn tính diện tích của hình thang cong này
a) Với mỗi , gọi

là diện tích phần hình

thang cong đã cho nằm giữa hai đường
thẳng vuông góc với trục
hoành độ bằng và (H.4.5).

tại điểm có

HĐ2
Cho sao cho . So sánh hiệu với diện tích hai
hình chữ nhật và (H.4.6). Từ đó suy ra

b) Cho sao cho . Tương tự phần a, đánh giá
hiệu và từ đó suy ra

HĐ2
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi ,
ta có

Từ đó chứng minh
Người ta chứng minh được , tức là
nguyên hàm của trên .

là một

HĐ2
d) Từ kết quả của phần c, ta có . Sử dụng
điều này với lưu ý và diện tích cần tính ,
hãy tính .
Gọi là một nguyên hàm tùy ý của trên .
Hãy so sánh và .

HĐ2

Giải
a) Với , kí hiệu và lần lượt là diện tích các
hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có:
+) Hình chữ nhật MNPQ có kích thước:
Hình chữ nhật MNEF có kích thước:

HĐ2

Giải
+)
Từ hình vẽ:

hay .
Suy ra .

HĐ2

Giải
Với và , kí hiệu và lần lượt là diện tích các
hình chữ nhật MNPQ và MNEF, ta có

hay .
Suy ra .

HĐ2

Giải
c) Dựa vào kết quả của câu ta suy ra với
mọi , ta có:

Suy ra .

HĐ2

Giải

d) Vì S(1) nên
Vậy
Ta có
+) +C là một nguyên hàm của trên .
Khi đó .
Ta thấy .

Kết luận
Nếu hàm số liên tục và không âm
trên đoạn

thì diện tích

của hình

thang cong giới hạn bởi đồ thị , trục
hoành và hai đường thẳng là , trong
đó là một nguyên hàm của hàm số
trên đoạn

VÍ DỤ 2
Tính diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ,
trục hoành và hai đường thẳng , .

Giải

Một nguyên hàm của hàm số là
Do đó, diện tích của hình thang
cong cần tính là

b) Định nghĩa tích phân
HĐ3

Nhận biết khái niệm tích phân

Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn , và là hai nguyên hàm tùy ý của
trên đoạn . Chứng minh rằng .

Giải
Vì và là hai nguyên hàm của trên đoạn nên tồn tại một hằng số C
sao cho
Do đó

Khái niệm

Cho là hàm số liên tục trên đoạn [a; b].
Nếu là một nguyên hàm cúa hàm số trên
đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ
đến của hàm số , kí hiệu là .

CHÚ Ý
Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:
a) Hiệu thường được kí hiệu là .
Như vậy

CHÚ Ý
b) Ta gọi là dá́u tích phân, a là cận dưới, là cận
trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số
dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp hoặc , ta quy ước:

VÍ DỤ 3
Tính
:
a)
b)
c)
d)

Luyện tập 1

Giải

Tính:
a)

a)

b)

b)

c)

c) .

d)

d)
.

Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn , thì tích
phân là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị , trục hoành và hai đường thẳng ,
Vậy

VÍ DỤ 4
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

b)

Giải
a) Tích phân cần tính là diện tích của hình
thang vuông , có đáy nhỏ , đáy lớn
đường cao (H.4.10). Do đó:

và

VÍ DỤ 4
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

b)

Giải
b) Ta có là phương trình nửa phía trên trục
hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ và
bán kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện
tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn
tương ứng (H.4.11).
Vậy

Luyện tập 2
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

b)

Giải
a) Gọi và lần lượt là giao điểm của
đường thẳng với đường thẳng .
Do đó

Luyện tập 2
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a)

b)

Giải
Tích phân cần tính là diện tích hình thang
vuông với đáy nhỏ ; đáy lớn và chiều cao
.
Do đó
.

Luyện tập 2
Giải

Ta có là phương trình nửa phía trên
trục hoành của đường tròn tâm tại
gốc tọa độ O và bán kính 2.
Do đó, tích phân cần tính là diện tích
nửa phía trên trục hoành của hình
tròn tương ứng.
Vậy .

Vận dụng 1
Giải quyết bài toàn ở tình huống mở đầu

Giải
Ô tô dừng lại khi . Tức là giây.
Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển
được quãng đường là:
Vậy quãng đường ô tô di chuyển được là 5 mét.

2.TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

HĐ4
Nhận biết tính chất của tích phân
Tính và so sánh:
a) và

b) và

c) và

Giải
a) .
Do đó

HĐ4
Giải

b)

Do đó
c) .
Do đó .

Tính chất của tích phân
Cho là các hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó, ta có
1) (k là hằng só́ );
2) ;
3) ;
4) .

VÍ DỤ 5
Tính:
a)
c)

Giải
a)

b)