CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500
nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng
trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người)
của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công
thức Pn = 500(1 + 0,02)n. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì
vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn
người?

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ
CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 5: DÃY SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Định nghĩa dãy số

2

Cách cho một dãy số

3

Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

1.
ĐỊNH NGHĨA DÃY SỐ

Dãy số vô hạn
HĐ 1: Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công
thức tính số chính phương thứ n.
Trả lời:
Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.
Số chính phương thứ nhất là u1 = 02 = 0; Số chính phương thứ hai là u2 = 12 = 1
Số chính phương thứ ba là u3 = 22 = 4; Số chính phương thứ tư là u4 = 32 = 9
Số chính phương thứ năm là u5 = 42 = 16
Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là
2

*

KẾT LUẬN
• Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là .
• Ta thường viết thay cho u(n) và ký hiệu dãy số bởi , do đó dãy số
được viết dưới dạng khai triển ... Số gọi là số hạng đầu, là số
hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu thì được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1:
Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của mỗi dãy số sau:
a) Dãy số các số tự nhiên lẻ theo thứ tự tăng dần: 1, 3, 5, 7...
b) Dãy số các số nguyên dương chia hết cho 5, sắp xếp từ bé đến
lớn: 5, 10, 15, 20,...
Giải
a) Dãy số có số hạng đầu và số hạng tổng quát
b) Dãy số có số hạng đầu và số hạng tổng quát

Dãy số hữu hạn
HĐ 2:
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé
đến lớn.
b) Viết công thức số hạng  của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của .
Trả lời:
a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là
0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.
b) Ta có: un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ* và n ≤ 8.

KẾT LUẬN
• Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;...; m}
với được gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là . Số gọi là
số hạng đầu, số gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2:
Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 20, sắp xếp theo
thứ tự từ bé đến lớn.
a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.
b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.
Giải
a) Các số hạng của dãy số là: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
b) Số hạng đầu của dãy số này là 1 và số hạng cuối của dãy số là 19.

LUYỆN TẬP 1
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số
hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng
đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
Giải
a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q
khác 0 để a = 5q + 1.
Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần.
Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n + 1 (n ∈ ℕ*).

LUYỆN TẬP 1
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần.
Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định
số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
Giải
b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.
Số hạng đầu của dãy là u1 = 6, số hạng cuối của dãy là u5 = 26.

2.
CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

HĐ 3: Xét dãy số  gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:
5; 10; 15; 20; 25; 30;…
a) Viết công thức số hạng tổng quát  của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ  theo số hạng thứ  của dãy
số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.
Trả lời:
a) Số hạng tổng quát của dãy số là u
b) Số hạng đầu của dãy số là
Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ là

KẾT LUẬN
Một dãy số có thể cho bằng:
• Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít
số hạng).
• Công thức của số hạng tổng quát.
• Phương pháp mô tả.
• Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số cho
bởi công thức số hạng tổng quát sau:

(− 1)
𝑎 ¿ 𝑢 ¿ 𝑛= 2 𝑛 ; b ¿ 𝑢𝑛 =
𝑛
Giải

𝑛

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 10
Số hạng thứ 100 của dãy số là:

1 1 1 1
b) Năm số hạng đầu của dãy số là: −1 , 2 ,− 3 , 4 , − 5
100

( −1 )
1
Số hạng thứ 100 của dãy số là: 𝑢100 = 100 = 100

Ví dụ 4: Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần.
Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.
Giải
Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 3, 5, 7, 11.

Số nguyên tố là số tự nhiên
lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước
số là 1 và chính nó.

Chú ý. Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô
tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay
không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ
thức tính số nguyên tố thứ n theo một vài số nguyên tố đứng trước nó.

Ví dụ 5: Cho dãy số xác định bằng hệ thức truy hồi
với
Viết ba số hạng đầu của dãy số này.
Giải
Ta có

Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng
(hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 6:
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải

Ở đây ta có . Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là:
(nghìn người)

LUYỆN TẬP 2
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số  với số hạng tổng quát 
b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci  cho bởi hệ thức truy hồi

Giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n! là
b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) là

Chú ý:

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số
hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số với . Năm số hạng
đầu tiên của dãy số này là: và được biểu diễn trên trục số như trên.

3.
DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN

Nhận biết dãy số tăng, dãy số giảm
HĐ 4: a) Xét dãy số  với . Tính  và so sánh với .
b) Xét dãy số  với  . Tính  và so sánh với .
Trả lời:
a) Ta có:
Xét hiệu ta có:  
tức là .
Vậy .

Trả lời:
b) Ta có: .
Xét hiệu ta có:
2

𝑛 − (𝑛 + 1 )
1
1
−
=
𝑛 + 1 − 𝑣 𝑛=
2
2
2
2
𝑛
( 𝑛+1 )
𝑛 ( 𝑛+ 1 )

2

𝑛 − ( 𝑛 +2 𝑛+1 )
2 𝑛+1
¿
=−
<
0
,
∀
𝑛
∈
ℕ
∗
2
2
2
2
𝑛 (𝑛 +1 )
𝑛 ( 𝑛+1 )
2

Tức là ,
Vậy ,

2

KẾT LUẬN
• Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;...; m}
với được gọi là một dãy số hữu hạn.
• Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là . Số gọi là
số hạng đầu, số gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 7:
Xét tính tăng, giảm của dãy số , với
Giải

Ta có:
,
tức là .
Vậy là dãy số giảm.

LUYỆN TẬP 3

Xét tính tăng, giảm của dãy số , với
Giải

1
1
1
Ta có: 𝑢𝑛 = 𝑛 +1 , 𝑢𝑛 +1= ( 𝑛+1 ) +1 = 𝑛+ 2

Tức là . Vậy (un) là dãy số giảm.

1
𝑢𝑛 =
𝑛 +1

Nhận biết dãy số bị chặn
HĐ 5: Cho dãy số  với ,
a) So sánh  và 1.
Trả lời:
a) Ta có:
b) Ta có: suy ra
Do đó, .

b) So sánh  và 2.

KẾT LUẬN
• Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
với .
• Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
• Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho , .

Ví dụ 8: Xét tính bị chặn của dãy số với

𝑛−1
𝑢𝑛 =
𝑛

Giải

𝑛− 1
1
∗
Dãy số bị chặn trên, vì 𝑢𝑛 = 𝑛 =1− 𝑛 <1 , ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
𝑛−1
∗
Dãy số bị chặn dưới, vì 𝑢𝑛 = 𝑛 ≥ 0 , ∀ 𝑛 ∈ 𝑁
Vậy dãy số bị chặn.

Câu hỏi phụ
Cho dãy số biết . Xét tính bị chặn dãy số .
Giải

Ta có:

Suy ra
Vậy dãy số bị chặn.

LUYỆN TẬP 4
Xét tính bị chặn của dãy số với
Giải
Ta có:
Do đó, dãy số bị chặn dưới.
Dãy số không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
với mọi .
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

VẬN DỤNG
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương
năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25
triệu đồng. Gọi  (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho
công ty đó. Khi đó ta có:               
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh  là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Giải
a) Ta có: s2 = s1 + 25 = 200 + 25 = 225
s3 = s2 + 25 = 225 + 25 = 250
s4 = s3 + 25 = 250 + 25 = 275
s5 = s4 + 25 = 275 + 25 = 300
Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.
b) Ta có: sn = sn – 1 + 25 ⇔ sn – sn – 1 = 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.
Tức là sn > sn – 1 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.
Vậy (sn) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh

LUYỆN TẬP

50:50

50:50

Key

Câu 1. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 5; 10; 15;
20; 25;...5; 10; 15; 20; 25;...Số hạng tổng quát của
dãy số này là:
A.

B.

C.

D.

50:50

Key

Câu 2. Cho dãy số có các số hạng đầu là: 8, 15, 22, 29, 36,...8, 15,
22, 29, 36,....Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A.

B.

C.
D. Không viết được dưới
dạng công thức

50:50

Key

Câu 3. Cho dãy số có các số hạng đầu là: −2; 0; 2; 4;
6;...−2; 0; 2; 4; 6;.... Số hạng tổng quát của dãy số này
có dạng?
A.

B.

C.

D.

50:50

Key

Câu 4. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của
dãy số biết:

A. Dãy số tăng, bị chặn

C. Dãy số không tăng
không giảm, không bị chặn

B. Dãy số giảm, bị chặn

D. Cả A, B, C đều sai

50:50

Key

Câu 5. Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:
 

A. Dãy số tăng

C. Dãy số không tăng
không giảm

B. Dãy số giảm

D. Cả A, B, C đều sai

Bài tập 2.1 (SGK-tr46)
Viết năm số hạng đầu và số
hạng thứ 100 của các dãy
số  có số hạng tổng quát cho

Giải
a) Ta có: u1 = 3 . 1 – 2 = 1;

bởi:

u2 = 3 . 2 – 2 = 4;

a)          

u3 = 3 . 3 – 2 = 7;

b)     

u4 = 3 . 4 – 2 = 10;

c) 

u5 = 3 . 5 – 2 = 13;
u100 = 3 . 100 – 2 = 298.

Bài tập 2.1 (SGK-tr46)
Giải

Viết năm số hạng đầu và số
hạng thứ 100 của các dãy
số  có số hạng tổng quát cho

b) Ta có: u1 = 3 . 21 = 6;

bởi:

u2 = 3 . 22 = 12;

a)          

u3 = 3 . 23 = 24;

b)     
c) 

u4 = 3 . 24 = 48;
u5 = 3 . 25 = 96;
u  = 3 . 2100.

Bài tập 2.1 (SGK-tr46)
Giải

Viết năm số hạng đầu và số
hạng thứ 100 của các dãy

c) Ta có:

số  có số hạng tổng quát cho

;

bởi:

;

a)          
b)     
c) 

Giải

Bài tập 2.2 (SGK-tr46)
Dãy số  cho bởi hệ thức truy hồi: 

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

với

u1 = 1;

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

u2 = 2u1 = 2 . 1 = 2;

b) Dự đoán công thức số hạng

u3 = 3u2 = 3 . 2 = 6;

tổng quát .

u4 = 4u3 = 4 . 6 = 24;
u5 = 5u4 = 5 . 24 = 120.

Giải

Bài tập 2.2 (SGK-tr46)
Dãy số  cho bởi hệ thức truy hồi: 

b) Nhận xét thấy u1 = 1 = 1!;

với

u2 = 2 . 1 = 2!;

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

u3 = 3u2 = 3 . 2 . 1 = 3!;

b) Dự đoán công thức số hạng

u4 = 4u3 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

tổng quát .

u5 = 5u4 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;
...
Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán
được công thức số hạng tổng quát của
un là un = n!

Bài tập 2.3 (SGK-tr46) Xét tính tăng, giảm của dãy số , biết:
𝑛 −1

(−1)
𝑎 ¿ 𝑢𝑛= 2𝑛 − 1 ; 𝑏 ¿ 𝑢 𝑛=− 3 𝑛+ 2 ; c ¿ 𝑢 𝑛=
𝑛
2

Giải

Ta có:
Xét hiệu  ,
tức là  , ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy là dãy số tăng.

Giải
b) Ta có:  
Xét hiệu ,
Tức là , . Vậy là dãy số giảm.
c)
Nhận xét thấy:

Vậy dãy số không tăng, cũng không giảm.

Bài tập 2.4 (SGK-tr46)
Trong các dãy số  sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

𝑛+1
𝑛 −1
a ¿ 𝑢 𝑛=𝑛 – 1 b ¿ 𝑢 𝑛=
𝑐 ¿ 𝑢𝑛 = 𝑠𝑖𝑛 𝑛 𝑑 ¿ 𝑢𝑛=( – 1)
𝑛2
𝑛+2
Giải
Ta có: un = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.
Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
un = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*