CHÀO MỪNG TẤT CẢ CÁC EM
ĐÃ ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Hình 86 minh họa chiếc cân thăng bằng và
gợi nên hình ảnh đoạn thẳng AB, đường
thẳng d. Đường thẳng d có mối liên hệ gì
với đoạn thẳng AB?

CHƯƠNG VII. TAM GIÁC
BÀI 9: ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA
MỘT ĐOẠN THẲNG

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

ĐỊNH NGHĨA

2

TÍNH CHẤT

3

VẼ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

1

ĐỊNH NGHĨA

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ1
HĐ1: Quan sát Hình 87.
a) So sánh hai đoạn thẳng và .
b) Tim số đo của các góc .
Giải
a) Ta thấy IA = IB.
b) Ta thấy d ⊥ AB nên .

KẾT LUẬN
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông
góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.
Ví dụ:
- Đoạn thẳng ; trung điểm của đoạn thẳng ;
- Đường thẳng vuông góc với tại .
Vì thế, đường thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng .

Ví dụ 1 (SGK – tr100)
Trong Hình 89 , quan sát ba cặp đoạn thẳng và đường thẳng: và và
và . Đường thẳng nào là đường trung trực của đoạn thẳng tương ứng
trong ba cặp trên? Vì sao?

Giải

• Đường thẳng là đường trung trực của đoan thẳng vì là đường thẳng
vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng .
• Đường thẳng không là đường trung trực của đoạn thẳng vì không đi
qua trung điểm của đoạn thẳng .
• Đường thẳng không là đường trung trực của đoạn thẳng vì không
vuông góc với đoạn thẳng .

LUYỆN TẬP 1
Cho tam giác ABC và M là trung điểm của BC. Biết  Chứng minh
AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Giải
Ta có:
mà (hai góc kề bù).
Suy ra hay AM ⊥ BC.
Ta có AM ⊥ BC tại trung điểm M của BC nên
AM là đường trung trực của BC.

2

TÍNH CHẤT

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ2
HĐ2: Cho đoạn thẳng có trung điểm là đường trung trực của
đoạn thẳng , điểm thuộc khác (Hình 90). Chứng minh
rằng:
a)
b) .

Giải
a) Xét ∆MOA vuông tại O và ∆MOB vuông
tại O có:
MO chung.
OA = OB (theo giả thiết).
Do đó ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông).
b) Do ∆MOA = ∆MOB (2 cạnh góc vuông)
nên MA = MB (2 cạnh tương ứng).

KẾT LUẬN
Một điểm thuộc đường trung
trực của đoạn thẳng thì cách
đều hai đầu mút của đoạn
thẳng đó.

Ví dụ:
Gọi

là đường trung trực của

đoạn thẳng . Lấy điểm
đường thẳng . Ta có .

trên

Ví dụ 2 (SGK – tr101)
Cho các điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng và không
thuộc đường thẳng . Chứng minh rằng .
Giải
Xét hai tam giác và , ta có:

𝑀𝐴= 𝑀𝐵 ( v ì   𝑀  thu ộc  đườ ng   trung  tr ự c  c ủ a   𝐴𝐵  );  
𝑁𝐴=𝑁𝐵   ( v ì   𝑁   thu ộ c  đườ ng   trung   tr ự c   c ủ a   𝐴𝐵   );
𝑀𝑁  l à cạ nh  chung . 
Suy ra (c.c.c).

LUYỆN TẬP 2
Hình 91 mô tả mặt cắt đứng của một ngôi nhà với hai mái là OA và OB,
mái nhà bên trái dài 3 m. Tính chiều dài mái nhà bên phải, biết rằng
điểm O thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải
Do O thuộc đường trung trực của đoạn
thẳng AB nên OA = OB = 3 m.
Vậy chiều dài mái nhà bên phải là 3 m.

HĐ3:
Cho đoạn thẳng có trung điểm . Giả sử là một điểm khác sao cho .
a) Hai tam giác và có bằng nhau hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng có là đường trung trực của đoạn thẳng hay không? Vì
sao?

Giải
a) Xét ∆MOA và ∆MOB có:
MO chung.
OA = OB (theo giả thiết).
MA = MB (theo giả thiết).
Do đó ∆MOA = ∆MOB (c - c - c).

Giải
b) Do ∆MOA = ∆MOB (c - c - c) nên OA = OB (2 cạnh tương ứng)
và (2 góc tương ứng).
Do OA = OB và O nằm giữa A và B nên O là trung điểm của AB.
Do mà nên
Do đó MO ⊥ AB.
Khi đó MO vuông góc với AB tại trung điểm O của AB.
Vậy MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

KẾT LUẬN
Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường
trung trực của đoạn thẳng đó.
Ví dụ:
- Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng
AB, M là điểm sao cho MA = MB. Ta có M
nằm trên đường trung trực d của đoạn
thẳng AB.

Ví dụ 3 (SGK – tr102)
Cho hình thang có , . Hai tia và cắt nhau tại . Gọi lần lượt là trung điểm
của các cạnh (Hình 93). Chứng minh:
a) Hai tam giác và là những tam giác
cân;
b) Đường thẳng là đường trung trực của
đoạn thẳng ;
c) Ba điểm thẳng hàng.

Giải
a) Do nên tam giác cân tại .
Do nên
(hai góc đồng vị).
Suy ra .
Vậy tam giác cân tại .
b) Do tam giác cân tại nên .
Lại có (giả thiết), suy ra là đường trung trực của đoạn thẳng .

Giải
c) Do tam giác cân tại nên .
Lại có (giả thiết)
Suy ra là đường trung trực của đoạn thẳng .
Do đó .
Vì là đường trung trực của nên .
Mà // nên .
Do và cùng vuông góc với nên ba điểm thẳng hàng.

LUYỆN TẬP 3
Cho tam giác cân tại .
a) Điểm có thuộc đường trung trực của đoạn thẳng hay không? Vì sao?
b) Đường thẳng qua vuông góc với cắt cạnh tại . Đường thẳng có là đường
trung trực của đoạn thẳng hay không? Vì sao?
Giải
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của
đoạn thẳng BC.

Giải
b) Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHC vuông tại H có:
AB = AC (chứng minh trên)
AH chung
Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra HB = HC (2 cạnh tương ứng).
Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.
Ta có AH vuông góc với BC tại trung điểm H của BC nên AH là
đường trung trực của đoạn thẳng BC.

3

VẼ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ4

HĐ4: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực
của đoạn thẳng AB, biết AB = 3cm.
Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB = 3cm.
Giải
• Bước 1. Vẽ đoạn thẳng .

• Bước 2. Vẽ một phần đường tròn tâm
bán kính

• Bước 3. Vẽ một phần đường tròn tâm
bán kính , cắt phần đường tròn tâm vẽ
ở Bước 2 tại các điểm và .

Bước 4. Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm và . Đường thẳng là
đường trung trực của đoạn thẳng .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1

Cho hình vẽ, có AB = AC, DB = DC; M là giao điểm của
AD và BC. Chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
A.
B. D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC.
C. AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
D. MB = MD
Lựa chọn đáp án bằng cách bấm vào ô Đáp án

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2

Gọi O là điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng
AB. Hãy chọn phát biểu sai.

A. O cách đều điểm A và điểm B.
B. OA = OB.
C. Tam giác OAB cân tại A.
D. O nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB và
vuông góc với AB.
Lựa chọn đáp án bằng cách bấm vào ô Đáp án

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3

Quan sát hình bên dưới, cho biết MH là đường trung
trực của đoạn thẳng NP, cho MN = 15, MP = x + 9.
Vậy x có giá trị là:
A. 6;

B. 15;

C. 5;

D. 10.

Lựa chọn đáp án bằng cách bấm vào ô Đáp án

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4

Cho tam giác ∆HAB cân tại H và I là trung điểm của
AB (như hình bên dưới). Góc HIB có số đo là:
A. 45°

B. 90°

C.180°

D.30°

Lựa chọn đáp án bằng cách bấm vào ô Đáp án

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5

Cho hình vẽ, có H là trung điểm BC, , AB = 5cm,
DC = 8cm. Độ dài cạnh AC và BD là:
A. AC = 4 cm và BD = 6 cm
B. AC = 4 cm và BD = 8 cm
C. AC = 8 cm và BD = 5 cm
D. AC = 5 cm và BD = 8 cm
Lựa chọn đáp án bằng cách bấm vào ô Đáp án

LUYỆN TẬP
Bài 1. (SGK – trang 103)
Trong Hình 94 , đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng . Chứng
minh .

Giải
Gọi H là giao điểm của CD và AB.
Do C thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên CA = CB.
Do D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên DA = DB.
• Xét ∆CHA vuông tại H và ∆CHB vuông tại H có:
CH chung
CA = CB (chứng minh trên)
Do đó ∆CHA = ∆CHB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra

(2 góc tương ứng) (1).

Giải
• Xét ∆DHA vuông tại H và ∆DHB vuông tại H có:
DH chung
DA = DB (chứng minh trên)
Do đó ∆DHA = ∆DHB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra  (2 góc tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra hay .
Vậy .

LUYỆN TẬP
Bài 2. (SGK – trang 103)

Trong Hình 95, đường thẳng là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng
và . Chứng minh:
a) ;
b) ;
c)
d) ;
e) .

Giải
a) Do a là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng
AB và CD nên a ⊥ AB và a ⊥ CD.
Do đó AB // CD.
b) Xét ∆MNC vuông tại N và ∆MND vuông tại N có:
MN chung
NC = ND (theo giả thiết)
Do đó ∆MNC = ∆MND (2 cạnh góc vuông).

Giải
c) Do ∆MNC = ∆MND (2 cạnh góc vuông) nên  (2
góc tương ứng).
Do AM // DN nên (2 góc so le trong).
Do BM // CN nên (2 góc so le trong).
Do đó

Giải
d) Do ∆MNC = ∆MND (2 cạnh góc vuông)
nên MC = MD (2 cạnh tương ứng).
• Xét ∆AMD và ∆BMC có:
AM = BM (theo giả thiết)
(chứng minh trên)
MD = MC (chứng minh trên)
Do đó ∆AMD = ∆BMC (c - g - c)
Suy ra AD = BC (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng).
Vậy AD = BC và .

Giải

e) Do ∆AMD = ∆BMC (c - g - c) nên (2 góc tương ứng).
Mà nên hay .

LUYỆN TẬP
Bài 3. (SGK – trang 103)

Cho ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa hai điểm và . Gọi và lần
lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng và . Chứng minh rằng .

Giải
- a là đường trung trực của đoạn thẳng AB
nên tại trung điểm của AB.
- b là đường trung trực của đoạn thẳng BC
nên tại trung điểm của BC.
Do A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên trung điểm của
đoạn thẳng AB và trung điểm của đoạn thẳng BC không trùng nhau.
Do đó

VẬN DỤNG
Bài 4. (SGK – trang 103)

Cho đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng . Điểm không
thuộc đường thẳng và đoạn thẳng sao cho đường thẳng cắt đoạn
thẳng tại điểm . Chứng minh:
a) ;
b) .

Giải
a) Đường thẳng d cắt MB tại I nên I thuộc
đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó AI = BI.
Khi đó MB = BI + IM = AI + IM.
b) Xét trong tam giác AIM có AI + IM > MA.
Mà AI + IM = MB nên MB > MA.

BÀI TẬP THÊM
Câu 1. Cho hình vẽ, có AB = AC, DB = DC, M là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh M là trung điểm của BC.
Giải
Do AB = AC nên A thuộc đường trung trực của BC.
Mặt khác, DB = DC nên D cũng thuộc đường trung
trực của BC.
Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của BC.
Mà M nằm trên AD, do đó MB = MC hay M là trung
điểm của BC.

BÀI TẬP THÊM
Câu 2. Bạn Đức làm một chiếc diều có dạng như hình vẽ, biết điểm A
và D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng BC. Tính độ dài của các
nẹp AC và DB.
Giải
Do A và D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng
BC nên: AC = AB = 50 cm, DB = 25 cm.

BÀI TẬP THÊM
Câu 3. Một con đường liên xã cách không xa hai địa điểm dân cư và hai
địa điểm này nằm ở cùng một phía của con đường. Hãy xác định một địa
điểm trên con đường đó để xây dựng nhà văn hóa xác sao cho nhà văn
hóa đó cách đều hai địa điểm dân cư.

Giải
Đưa về bài toán: Cho đường thẳng d và hai
điểm A, B nằm cùng một phía đối với d.
Tìm một điểm C trên d sao cho C cách đều
A và B.
- Khi AB không vuông góc với d, vẽ trung trực a của đoạn thẳng AB.
Giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d chính là điểm C
cần tìm.

Giải

Thật vậy, hiển nhiên C nằm trên d; C nằm trên đường trung trực a của
đoạn thẳng AB nên theo tính chất đường trung trực ta có A cách đều A
và B (CA = CB).
- Khi thì a // d, do đó không có một điểm nào nằm trên d lại cách đều A
và B.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
* Chuẩn bị trước
* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

“Bài 10: Tính chất ba

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

đường trung tuyến
của tam giác”